Índice
1. ¿Qué son los problemas de comparación aditiva?
Los problemas de comparación aditiva o problemas aditivos de comparación son un tipo de problema aritmético elemental verbal (PAEV). Es la tercera clase de PAEV que estudiaremos en este monográfico. Aunque la mayoría de estos problemas podrán ser resueltos por el alumnado del primer ciclo de primaria, hay algunos que entrañan mayor complicación que los tipos de problemas vistos hasta ahora (combinación y cambio).
Se trata de problemas solubles. Sus datos, que estarán expresados de forma verbal o numéricamente, son cantidades entre las que se establecen relaciones de tipo cuantitativo.
En su resolución únicamente será necesario emplear la resta o la suma. El estudiante debe determinar la cantidad que se desconoce.
Al igual que el resto de PAEV, los problemas de comparación aditiva son propuestas didácticas cuya finalidad es trabajar los contenidos de una asignatura. De esta forma, aunque las situaciones que detallan podrían suceder, lo que realmente representan es el particular mundo de las matemáticas escolares.
Estas situaciones se describen mediante enunciados verbales y son una de las variables principales que dan forma a la clasificación de los PAEV (problemas aritméticos elementales verbales).
Como ya dijimos en el primer artículo de este monográfico, conocer las diferentes tipologías de problemas es importantísimo, pues nos permite:
• evitar la redundancia,
• secuenciar correctamente y
• ayudar a que nuestro alumnado supere mejor sus dificultades.
1.1. Definición
Los problemas de comparación aditiva son PAEV de una etapa y estructura aditiva en los que se establece una relación comparativa entre dos cantidades, que se expresa a través de oraciones subordinadas adverbiales comparativas.
EJEMPLO 1. El Mulhacén alcanza una altura de 3478 metros sobre el nivel del mar. El Pico del Veleta mide 83 metros menos que el Mulhacén. ¿Sabrías decir cuál es su altura?
nota: la adición y la sustracción son operaciones inversas, así, la segunda suele contemplarse como un caso de la primera.
Al contrario de lo que ocurría con los problemas de cambio, los problemas aditivos de comparación no describen una situación dinámica, sino estática, aspecto que los emparenta con los problemas de combinación. Sin embargo, mientras que en estos últimos la relación afectaba a las colecciones en los problemas de comparación aditiva afecta a las cantidades, así, lo que en aquellos eran relaciones inclusivas entre conjuntos aquí son relaciones comparativas entre cantidades.
La comparación de dichas cantidades produce una tercera cantidad, la cantidad en la que se diferencian. De esta forma, en esta clase de problemas tenemos 3 cantidades:
- la cantidad de referencia (CR), que es la que tomamos como modelo para la comparación;
- la cantidad comparada (CC), que es la que depende de la comparación; y
- la cantidad diferencia (CD), que es la que la cuantifica.
EJEMPLO 2. El colegio está a 589 (CR) metros de mi casa. El supermercado está 25 (CD) metros más cerca que el colegio. ¿A qué distancia está el supermercado (CC)?
En el ejemplo anterior, el referente es el colegio, elemento sobre el que recae la comparación («más cerca que el colegio»), por tanto, la CR es la distancia desde este a mi casa, 589 metros. El comparado es el supermercado, pero en este caso desconocemos la CC. Lo que sí sabemos es la CD, 25 metros.
Como vemos, dos de las tres cantidades serán conocidas y una desconocida. Por tanto, la primera variable que nos sirve para diferenciar entre unos y otros problemas de comparación aditiva será el lugar que ocupa la incógnita (en CR, CC o CD).
La otra variable es el tipo de relación cuantitativa entre la cantidad de referencia y la cantidad comparada. Si la CR es menor que la CC (CR<CC) tendremos un problema distinto que cuando suceda lo contrario (CR>CC).
Al hilo de esto, hay que aclarar que algunos autores denominan a esta variable «sentido de la comparación», en alusión a si lo que se realiza es:
♦ una comparación de superioridad o en sentido positivo («más… que») o
♦ una comparación de inferioridad o en sentido negativo («menos… que»).
Sin embargo, este enfoque resulta ambiguo, ya que en la composición del problema pueden usarse adjetivos o adverbios relacionados con el precio, la edad, la distancia, etc., y en dichos contextos aparecen parejas de palabras que expresan relaciones de comparación con sentidos opuestos. Lo veremos más claro tomando como ejemplo los siguientes problemas:
EJEMPLO 3. Juan tiene 12 años. Raúl tiene 3 años menos que Juan. ¿Cuántos años tiene?
EJEMPLO 4. Un camión con su carga ha alcanzado los 4788 kg. Un coche es 3431 kg menos pesado que el camión. ¿Cuál es su peso?
EJEMPLO 5. Un elefante adulto pesa alrededor de 5500 kg. Una jirafa es 1000 kg más ligera que el elefante. ¿Cuánto pesa una jirafa?
Aunque solo en los dos primeros el sentido de la comparación es negativo («menos… que»), los tres ejemplos anteriores pertenecen a la misma clase de problema de comparación aditivo. Algo que es fácilmente verificable si no tenemos en cuenta como variable el sentido de la comparación:
♦ La incógnita en los tres casos es la cantidad comparada.
♦ La cantidad de referencia (CR) siempre es mayor que la cantidad comparada (CC).
Esto sucede porque la expresión «más ligera que» es equivalente a «menos pesada que».
De ahí que hayamos preferido tomar como variable diferenciadora el tipo de relación cuantitativa entre la CR y la CC, que, como hemos observado, no está sujeta a esta clase de contradicciones.
1.2. Otras denominaciones
Problemas de comparación por diferencias (Carrillo et al., 2016), Estado-comparación-estado (Godino, 2004) y problemas de comparación de medidas (Belmonte, 2003).
2. Clases de problemas aditivos de comparación
Como adelantamos más arriba, los dos detalles que estructuran la clasificación de este tipo de PAEV son la localización de la incógnita y si la cantidad de referencia (CR) es mayor o menor que la cantidad comparada. Así, podemos contemplar 6 clases diferentes de problemas de comparación aditiva o problemas aditivos de comparación. Para diferenciarlos se les suele asignar un número. Además, aquí los hemos etiquetado con unas siglas: la A nos señala que su estructura es aditiva, la C y la M son las dos primeras consonantes de «comparación».
2.1. Comparación aditiva 1 (ACM1)
Sabemos la cantidad de referencia (CR) y la cantidad comparada (CC), tenemos que hallar la cantidad diferencia (CD). La CR es menor que la CC.
EJEMPLO 6. La casa de Aurora tiene 15 ventanas. Mi casa tiene 9 ventanas. ¿Cuántas ventanas más que la mía tiene su casa?
CR: 9 | CC: 15 | CD: incógnita
2.2. Comparación aditiva 2 (ACM2)
Al igual que en los ACM1, las cantidades de referencia y comparada son conocidas, y nuestro objetivo es dar con la cantidad diferencia. Sin embargo, en este caso la CR es mayor que la CC.
EJEMPLO 7. La casa de Aurora tiene 9 ventanas, la mía 15. ¿Cuántas ventanas menos que la mía tiene su casa?
CR: 15 | CC: 9 | CD: incógnita
2.3. Comparación aditiva 3 (ACM3)
La CR y la CD son conocidas, CR<CC, tenemos que hallar la CC.
EJEMPLO 8. Mi casa tiene 9 ventanas, la de Aurora tiene 6 más que la mía. ¿Cuántas ventanas tiene la casa de Aurora?
CR: 9 | CC: incógnita | CD: 6
2.4. Comparación aditiva 4 (ACM4)
La CR y la CD son conocidas, pero en este caso CR>CC, tenemos que hallar la CC.
EJEMPLO 9. Mi casa tiene 15 ventanas, la de Aurora tiene 6 menos que la mía. ¿Cuántas ventanas tiene su casa?
CR: 15 |CC: incógnita | CD: 6
2.5. Comparación aditiva 5 (ACM5)
La CC y la CD son conocidas, CR<CC, tenemos que hallar la CR.
EJEMPLO 10. Mi casa tiene 15 ventanas, que son 6 ventanas más que las que tiene la casa de Aurora. ¿Cuántas ventanas tiene la casa de Aurora?
CR: incógnita | CC: 15 | CD: 6
2.6. Comparación aditiva 6 (ACM6)
La CC y la CD son conocidas, tenemos que hallar CR, pero en este caso la CR es mayor que la CC.
EJEMPLO 11. Mi casa tiene 9 ventanas, que son 6 menos que las de la casa de Aurora. ¿Cuántas ventanas tiene su casa?
CR: incógnita | CC: 9 | CD: 6
Nota
Algunos autores, debido a las similitudes que existen entre ambos, incluyen los problemas de igualación como una subcategoría de los problemas de comparación. Sin embargo, la mayoría de expertos prefieren presentarlos en dos clases separadas, que es como se hace en este monográfico.
3. Dificultades, estrategias y secuenciación
3.1. Dificultades
Al igual que ocurre con otros tipos de PAEV, muchas de las dificultades que tiene el alumnado al resolver los problemas de comparación aditiva están relacionados con el lenguaje. En el caso que nos ocupa podemos señalar la congruencia (ACM2, ACM3 y ACM4) o incongruencia (ACM1, ACM5 y ACM6) del enunciado y el uso de los pronombres para no repetir el comparado o el referente.
También suelen encontrar dificultades los alumnos y alumnas con la reversibilidad de la comparación: «mi casa tiene 6 ventanas menos que la tuya», «la tuya tiene 6 ventanas más que la mía».
3.2. Estrategias
Si para la resolución del problema se dispone de materiales manipulativos que permitan la representación del mismo, en los dos primeros tipos de problemas aditivos de comparación (ACM1 y ACM2) los niños y niñas suelen poner en marcha la estrategia de emparejar los elementos representados de la primera cantidad con los de la segunda y ver que los elementos no emparejados son la diferencia (estrategia de separar a). Para el resto de los problemas de comparación aditiva suelen usar contar a partir de lo dado.
Nota
Debemos resaltar que las estrategias informales de resolución suelen usarse, principalmente, en los problemas de cambio y combinación, que son los primeros tipos de problemas que trabajarán los escolares cuando afronten el aprendizaje de la suma y la resta. En el resto PAEV, al proponerse en momentos más avanzados de la escolarización, juegan un papel menos relevante.
3.3. Secuenciación
La secuenciación que se recomienda para los seis tipos de PAEV aditivos de comparación es la siguiente:
⇒ ACM2 y ACM4, que para el alumnado son los problemas más sencillos, comenzarán a trabajarse en el primer curso.
⇒ ACM3 y ACM1 a partir de segundo y tercero, respectivamente.
⇒ ACM5 y ACM6, que son los más difíciles, se introducirán en cuarto (el primero) y en quinto (el segundo).
La propuesta anterior tiene como único objetivo servir de guía. En la práctica, será el conocimiento que el docente tenga de su alumnado la herramienta que mejor guiará la secuenciación de estos y otros PAEV.
4. Anexo: Cómo localizar CR, CC y CD
Varios lectores nos han comentado que tienen dificultades para identificar la cantidad de referencia y la cantidad comparada. Así que, mientras confeccionamos una guía más elaborada, hemos decidido publicar este anexo con una de las propuestas que tenemos en mente.
4.1. Elementos de un problema de comparación
Lo primero que vamos a hacer es enumerar cuáles son los elementos de un problema de comparación. Veamos.
- Referente (R): entidad sobre la que se da o pregunta como dato numérico la cantidad de referencia (CR).
- Comparado (C): entidad sobre la que se da o pregunta como dato numérico la cantidad comparada (CC).
- Cantidad de referencia (CR): la cantidad que se toma como referencia en la comparación.
- Cantidad comparada (CC): la cantidad que comparamos con la cantidad de referencia.
- Cantidad diferencia (CD) o diferencia: la cantidad que relaciona las dos cantidades anteriores.
- Incógnita: la cantidad que tenemos que averiguar para solucionar el problema; recordemos que, en un problema de comparación, esta puede ser la cantidad de referencia (CR), la cantidad comparada (CC) o la cantidad diferencia (CD).
Hay que tener en cuenta que algunos elementos pueden explicitarse varias veces en el enunciado de un problema.
EJEMPLO 12. El coche de Marcos pesa 1377 kilogramos. La furgoneta de Rosa pesa 2983 kilogramos. ¿Cuánto pesa más la furgoneta de Rosa que el coche de Marcos?
El referente (R) aparece en la primera oración: El coche de Marcos [R] pesa 1377 kilogramos. Y también, en la oración comparativa: ¿Cuánto pesa más la furgoneta de Rosa que el coche de Marcos [R]?
Con el comparado (C) pasa lo mismo. Aparece en la segunda oración: La furgoneta de Rosa [C] pesa 2983 kilogramos. Y también, en la oración comparativa: ¿Cuánto pesa más la furgoneta de Rosa [C] que el coche de Marcos?
4.2. Identificación en un problema de los elementos anteriores
A continuación, vamos a aprender a localizar en un problema todos los elementos que hemos visto en el apartado anterior.
EJEMPLO 13. El río Ebro tiene una longitud total de 930 km. El río Guadalquivir es 273 kilómetros más corto que el río Ebro. ¿Cuánto mide el río Guadalquivir?
4.2.1. Oración comparativa
Lo primero que haremos es buscar la oración comparativa. Es decir, tenemos que encontrar la oración en la que aparece la construcción más… que o menos… que.
En nuestro caso es esta: El río Guadalquivir es 273 kilómetros más corto que el río Ebro.
4.2.2. Localizamos la cantidad diferencia
La cantidad diferencia (CD), si no es la incógnita, siempre estará a la izquierda del más o del menos. Si es la incógnita, a la izquierda habrá una expresión interrogativa.
El río Guadalquivir es 273 kilómetros más corto que el río Ebro.
Por tanto, la cantidad diferencia (CD) es 273 (kilómetros).
4.2.3. Localizamos el referente
El referente (R) siempre estará a la derecha del que.
El río Guadalquivir es 273 kilómetros más corto que el río Ebro.
Así que nuestro referente (R) es el río Ebro.
4.2.4. Localizamos la cantidad de referencia
Como vimos al principio, la cantidad de referencia (CR) es el dato numérico que se da o pregunta sobre el referente (R).
El río Ebro [R] tiene una longitud total de 930 km.
Así que la cantidad de referencia (CR) es 930.
4.2.5. Localizamos el comparado
Por descarte, el comparado (C) será la otra entidad sobre la que se ofrece o pregunta un dato numérico.
El río Ebro tiene una longitud total de 930 km. El río Guadalquivir es 273 kilómetros más corto que el río Ebro. ¿Cuánto mide el río Guadalquivir?
Como se observa, la única otra entidad sobre la que se pregunta u ofrece un dato es el río Guadalquivir: ¿Cuánto mide el río Guadalquivir?
El comparado (C) es, por tanto, el río Guadalquivir.
4.2.6. Localizamos la cantidad comparada
Finalmente, la cantidad comparada (CC) será el dato que se da o pregunta sobre el comparado (C).
En nuestro problema, ese dato es lo que mide el río Guadalquivir (C). Es decir, la cantidad comparada (CC) es la incógnita del problema (I).
4.3. Repaso
Vamos a repetir el proceso anterior con otros dos problemas.
EJEMPLO 14 | El tío de Carlos [R] tiene 45 [CR] años. El hermano de María [C] cumplió ayer 12 [CC] años. ¿Cuántos años [CD] menos que el tío de Carlos [R] tiene el hermano de María [C]?
- Buscamos la comparación: ¿Cuántos años menos que el tío de Carlos tiene el hermano de María?
- CD estará a la izquierda del más o del menos: En este caso no hay ninguna cantidad porque CD es la incógnita; lo que está a la izquierda es la expresión interrogativa, cuántos años.
- R estará a la derecha de que: el tío de Carlos.
- CR es el dato numérico que se da sobre R: 45 (años).
- Por descarte, C es la otra entidad sobre la que se ofrece o pregunta un dato numérico: El hermano de María.
- Finalmente, CC es el dato numérico que se da o pregunta sobre C: 12 (años).
EJEMPLO 15 | Madrid [R] está a 650 [CR] kilómetros de mi pueblo. Granada [C] está 265 [CD] kilómetros más cerca que Madrid [R]. ¿A qué distancia [CC] está Granada [C]?
- Buscamos la comparación: Granada está 265 kilómetros más cerca que
- CD estará a la izquierda del más o del menos: 265 (kilómetros).
- R estará a la derecha de que: Madrid.
- CR es el dato numérico que se da sobre R: 650 (kilómetros).
- Por descarte, C es la otra entidad sobre la que se ofrece o pregunta un dato numérico: Granada.
- Finalmente, CC es el dato numérico que se da o pregunta sobre C: Es el dato que tenemos que averiguar; es decir, CC es la incógnita del problema.
5. Biografía
MostrarBelmonte, J. M. (2003). El cálculo en la Enseñanza Primaria. La adición y la sustracción. En Didáctica de las matemáticas para Primaria (pp. 133-158). Madrid: Pearson Educación, S.A.
Bermejo, V., Lago, M., & Rodríguez, P. (1998). Aprendizaje de la adición y sustracción. Secuenciación de los problemas verbales según su dificultad. Revista de psicología general y aplicada: Revista de la Federación Española de Asociaciones de Psicología, 51(3-4), 533-552.
Carrillo, J., Contreras, L. C., Climent, N., Montes, M. A., Escudero, D., & Flores, E. (2016). Didáctica de las Matemáticas para maestros de Educación Primaria Colección: Didáctica y Desarrollo. Parainfo.
Echenique, I. (2006). Matemáticas: resolución de problemas, educación primaria. Pamplona: Gobierno de Navarra, Departamento de Educación.
Godino, J. D. (2004). Matemáticas para maestros. Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada.
Gregorio, J. (2005). La resolución de problemas en Primaria. Sigma. Revista de Matemáticas, (27), 26 (p. 9-26).
Lucas, M., & Alonso, V. (2013). La resolución de problemas aritméticos desde una metodología tecnológica e innovadora. Bordón. Revista de pedagogía, 65(3), 57-76.
Martínez Montero, J., & Sánchez Cortés, C. (2013). Resolución de problemas y método ABN. Las Rozas, Madrid: Wolters Kluwer España, S.A.
Maza, C. (2008). Adición y sustracción. En Didáctica de la matemática en la Educación Primaria. Madrid: Editorial Síntesis, S.A.
Puig, L., & Cerdán, F. (1988). Problemas aritméticos escolares. Madrid: Síntesis.
Segovia, I., & Rico, L. (2011). Matemáticas para maestros de Educación Primaria. Madrid: Pirámide.
Hola tengo la duda de saber diferenciar la cantidad comparada y la cantidad referencia de los PAES.
Hola, Inmaculada:
Como sois varios los que tenéis problemas con la identificación de la CR y la CC, hemos publicado un anexo (está antes de la bibliografía) en el que os proponemos una de las posibles estrategias a seguir.
Gracias por comentar.
Un saludo. 🙂
Hola, soy estudiante del 2°año de grado en educación primaria, y tengo examen de mates a primeros de julio de los problemas paev, y tengo un problema para distinguir en los problemas de comparación cual es la cantidad comparada y la referente, si me pudieras dar alguna respuesta te lo agradecería, un saludo
Hola, Mariángeles. Gracias por comentar. La verdad es que localizar la cantidad de referencia y la cantidad comparada son cuestiones que ni se desarrollaban correctamente en ninguno de los manuales que consulté ni yo caí en explicar cuando escribí este artículo. Así que me la anoto como tarea. De todas formas, te adelanto por correo electrónico un borrador con algunas nociones. Un saludo.
Hola, Estoy en el mismo caso que la compañera. Estudio Grado de Primaria. Y me cuesta mucho localizar CC y CR. Sabrías decirme alguna estrategia para poder identificarlas.
Gracias
Felicitarle por las 4 entradas sobre problemas.
Hola, David:
Como sois varios los que tenéis dudas sobre este tema, hemos publicado un anexo (está antes de la bibliografía) en el que os proponemos una de las posibles estrategias a seguir.
Gracias por tus palabras.
Un saludo. 🙂