Problemas aritméticos elementales verbales (PAEV)

1. Introducción

¿Sabes lo que son los problemas aritméticos elementales verbales (PAEV)? Si no es así, no te preocupes, en Significativa te ayudaremos a que los conozcas en profundidad. Gracias a este y a los otros artículos que forman parte de nuestro monográfico vas a aprender qué clase de actividad matemática son, los tipos que existen, cómo deben secuenciarse y qué dificultades suelen tener los alumnos durante su resolución.

1.1. Los problemas escolares de toda la vida

La resolución de problemas es la mejor forma de aprender matemáticas, pero si queremos trabajarla correctamente no podemos repetir los mismos una y otra vez. Para evitarlo es importante que los docentes conozcamos las diferentes taxonomías que existen de este tipo de ejercicios. Sin embargo, en la mayoría de clases de Educación Primaria casi todos los problemas que se presentan a los alumnos y alumnas pertenecen a una única tipología. Nos referimos a los “problemas escolares de toda la vida”.

1.2. Justificación

Además, estos problemas escolares los hay de muchas clases. Y, aunque actualmente ya comienzan a aparecer diferenciados en algunos libros de texto, muchos docentes todavía no tienen un conocimiento profundo sobre ellos. Hagamos una prueba, ¿cómo clasificarías los problemas que se usan para introducir/trabajar las operaciones elementales? Si solamente has utilizado como variables diferenciadoras el número de etapas y el tipo de operación te animamos a que sigas leyendo. En este monográfico descubrirás que de una etapa existen más de 30 clases. Si por el contrario ya sabes algo, o mucho, sobre este tema, nos sería de gran ayuda conocer tu opinión, descubrir cómo trabajas este tipo de problemas escolares y escuchar las sugerencias o correcciones que puedan mejorar nuestra clasificación.

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Importante: Pincha aquí para ir al programa del monográfico, desde donde podrás acceder a los artículos que desarrollan cada uno de los tipos de PAEV.

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2. Problemas aritméticos elementales verbales

Aunque la mayoría los conocemos como problemas escolares o problemas elementales, los expertos en didáctica de las matemáticas se refieren a ellos como problemas aritméticos elementales verbales (PAEV).

2.1. Definición de PAEV

Los problemas aritméticos elementales verbales (PAEV) son problemas escolares solubles. La información se presenta exclusivamente mediante el lenguaje verbal, y para resolverlos solo será necesario aplicar una o varias de las cuatro operaciones elementales. Los datos se ofrecen en forma de cantidades, ya sea verbal o numéricamente, y entre estos se establecen relaciones de tipo cuantitativo. Las preguntas nos instan a que determinemos una o varias de dichas cantidades.

EJEMPLO 1. Lorenzo tenía 4 libros en su mochila. Su amiga Tere le regala tres más. ¿Cuántos tiene ahora?

2.2. ¿Por qué debemos estudiar los PAEV?

El del ejemplo anterior es un problema sencillo, incluso para algunos alumnos y alumnas de Educación Infantil. Sin embargo, este y otros PAEV pueden entrañar dificultades que seremos incapaces de solventar correctamente si solo hacemos un estudio superficial de ellos. Además, los problemas aritméticos elementales verbales son el primer contacto con la resolución de problemas que tienen los niños, conque es importantísimo que su andadura por este nuevo campo de actividad no empiece de forma inadecuada.

Estas dificultades pueden estar relacionadas con la longitud del enunciado, el orden de presentación de los datos, la situación de la pregunta, el tamaño de los números, etc. Sin embargo, se ha comprobado que las más relevantes tienen que ver con la estructura semántica del problema (y también lo importante que es ésta en la elección de las estrategias resolutivas seguidas por los estudiantes). Algo lógico, si tenemos en cuenta que la resolución de problemas se emprende casi a la par del aprendizaje de la lectura.

En este sentido, hay resaltar que los problemas aritméticos elementales verbales están expresados mediante el lenguaje propio de la instrucción aritmética y que, por lo general, sus enunciados no tienen como objetivo aclarar la compresión del problema, sino formar parte de la tarea que se debe afrontar para resolverlo.

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El enunciado de un problema es un escrito matemático particular que tiene sus características propias, podríamos incluso decir que es un género literario bien caracterizado que necesita para su comprensión la adquisición de ciertas claves y algunas dosis de entrenamiento (Chamorro & Vecino, 2003).

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De la misma manera, debemos observar que los problemas aritméticos elementales verbales son propuestas didácticas cuya finalidad es trabajar los contenidos de una asignatura y, si bien las situaciones imaginarias que relatan son susceptibles de producirse, lo que realmente representan es el particular mundo de las matemáticas que se estudian en la escuela. Por eso, el proceso de resolución de estos problemas escolares puede diferir bastante del de un problema cuantitativo real.

Para finalizar la caracterización de los problemas aritméticos elementales verbales debemos ocuparnos de las situaciones que modelizan. Cada clase de PAEV representa una realidad diferente. Aunque, como hemos apuntado, para la resolución bastan las cuatro operaciones básicas, el número situaciones que se esconde tras la semántica de los PAEV es bastante mayor a 4. Además, la situación representada es una de las variables principales que dan forma a la clasificación de los PAEV. Lo veremos detenidamente cuando tratemos de forma específica cada tipo.

3. Venturas y desventuras acaecidas a una niña llamada Ana durante la resolución de su primer PAEV

Ahora volvamos al problema que pusimos como ejemplo y analicémoslo teniendo en cuenta lo expuesto en los párrafos anteriores.

EJEMPLO 1. Lorenzo tenía 4 libros en su mochila. Su amiga Tere le regala tres más. ¿Cuántos tiene ahora?

Supongamos que presentamos el texto anterior a Ana, una niña de 6 años que no ha realizado antes tareas similares. Si no le decimos que es un problema de matemáticas, aunque sepa la respuesta, su atención se centrará en otros aspectos mucho más atractivos. Se preguntará, por ejemplo: ¿quiénes son Lorenzo y Tere?, ¿será el cumpleaños del primero?, ¿qué apariencia física tienen?, ¿qué más habrá en esa mochila?, ¿a qué juegan?, ¿los libros serán parecidos a los que le gustan a ella?… ¡Qué más da cuántos tiene Lorenzo!

No es de extrañar, su mente no está sujeta a las prescripciones autoimpuestas que se hace un adulto y sitúa el foco en lo que realmente le es interesante. Sin embargo, esto también sucede porque la experiencia lectora de Ana se reduce a la literatura infantil y a algunos textos informativos adaptados, y los rasgos semánticos que se destacan durante la lectura narrativa son diferentes a los que debemos acentuar cuando afrontamos el texto de estos problemas escolares.

Para contestar a la pregunta, Ana debe, antes de nada y aunque suene terrorífico, doblegar su imaginación, ya que un problema no es problema hasta que el aprendiz acepta sus características y reglas. Es decir, hasta que asume que lo que tiene delante es una tarea de las matemáticas escolares y no otra cosa. La única forma de hacerlo es cogiendo experiencia realizando este tipo de actividades.

Por otro lado, estas reglas, además de restringir las cuestiones a plantearse, la obligan a aceptar que los únicos acontecimientos que ocurren son los que aparecen explícitamente en el enunciado. Así, por ejemplo, Ana ha de admitir que entre ese “Lorenzo tenía 4 libros en su mochila” de un pasado no determinado y el presente en el que su amiga “le regala tres más” nuestro amigo no mete ni saca ningún libro de su macuto; o también que, al no existir datos sobre el total de libros que tenía Tere, el sujeto omitido en la pregunta es él y no ella.

Después del proceso anterior, antes de elegir la operación a usar, nuestra pequeña estudiante todavía habrá de solventar otras cuestiones que tienen que ver ya más con el significado matemático del texto. Hablamos de los operadores semánticos y de las situaciones representadas.

Los primeros son una serie de palabras cuya importancia para la compresión del problema es crucial, pues se encargan de establecer las conexiones entre la incógnita y los datos. En nuestro ejemplo estas palabras claves son: “regala” y “más”.

El significado de estos operadores viene definido por la función que desempeñan en el enunciado del problema, y no por los atributos informativos propios. Por ejemplo, “más” sugiere claramente una suma. Sin embargo, “regala” es un término ambiguo, porque implica tanto una pérdida (resta) para la persona que realiza la acción como un aumento (suma), en el caso de la persona obsequiada. Por tanto, ninguno de los dos términos es plenamente contradictorio con la operación que debemos realizar. En estos casos se dice que el enunciado es congruente o consistente.

Cuando verdaderamente cobran importancia estos detalles es al no haber correspondencia entre el signo del operador semántico y el del operador matemático. Si esto ocurre se dice que el enunciado es incongruente o inconsistente. Veamos un par de ejemplos.

EJEMPLO 2. Tere tenía algunos libros y regaló 3. Le quedan 5. ¿Cuántos libros tenía?

EJEMPLO 3. Rosa ha hecho 5 aviones más que Juan. Si ella ha hecho 9, ¿cuántos hizo él?

Los dos enunciados anteriores son incongruentes. “Regaló” en el primer problema tiene un significado sustractivo, pero la operación a realizar es una suma. “Más”, en el segundo problema, es un operador que siempre sugiere sumar, sin embargo, lo que tenemos que hacer es una resta.

Nos queda hablar de las situaciones representadas en nuestro problema. Recordémoslo.

EJEMPLO 1. Lorenzo tenía 4 libros en su mochila. Su amiga Tere le regala tres más. ¿Cuántos tiene ahora?

Al igual que los operadores, las situaciones que recrean los enunciados también son una de las causantes de que, por ejemplo, no todos los problemas que pueden resolverse gracias a una suma entrañen la misma dificultad. En el caso que nos ocupa, Ana ha de solventar un PAEV en el que se da una situación de cambio. El siguiente problema describe una situación de comparación, que también se resuelve por una suma, pero su dificultad para el alumnado es mucho mayor.

EJEMPLO 4. Tere tiene 5 libros. Tiene 2 libros menos que Lorenzo. ¿Cuántos libros tiene Lorenzo?

Ana, seguramente, resolverá sin necesitar ayuda nuestro problema original, porque pertenece a uno de los PAEV más sencillos. Sin embargo, para hacer lo propio con todos los PAEV necesitará coger experiencia en este tipo de problemas escolares y comprender correctamente el significado de cada una de las cuatro operaciones básicas.

Cuando veamos las diferentes clases de problemas aritméticos elementales verbales ahondaremos en estas y otras cuestiones.

4. ¿Qué tipo de actividad matemática es un PAEV?

Existen muchas clasificaciones de problemas matemáticos. Podríamos mostrar una relación de las más conocidas, pero la finalidad de este artículo no lo requiere. Sin embargo, sí es importante presentar aquellas en la que los expertos incluyen el modelo de actividad que nos ocupa.

Como decíamos en la introducción, si queremos obtener los beneficios que se le atribuyen a la resolución de problemas necesitamos plantear diferentes tipos de estos. Cada uno moviliza una serie de contenidos y está indicado en un momento didáctico determinado. Además, conocer las diferentes taxonomías nos hará reflexionar sobre los puntos fuertes y débiles de nuestra programación para el área de matemáticas. A continuación, en la imagen, puedes ver las clasificaciones que algunos autores hacen de los problemas. Después, indicaremos a cuál pertenecerían los problemas aritméticos elementales verbales (PAEV).

Los PAEV ocuparían las siguientes categorías en cada una de ellas: problemas de aplicación (en 1), problemas de palabras (en 2, 3, 4 y 6) y problemas de traducción simple o compleja (en 5).

5. Clasificación de problemas aritméticos elementales verbales

Ya lo decíamos en la introducción: “estos problemas escolares los hay de muchas clases”. Y si queremos acometer la resolución de problemas con ciertas garantías debemos aprender a distinguir unos de otros.

Para construir nuestra clasificación de problemas aritméticos elementales se ha consultado una amplia selección de bibliografía especializada. En la mayoría existía casi unanimidad al señalar ciertas tipologías, si bien algunas aparecían bajo diversas denominaciones. Sin embargo, otras no aparecían en muchos textos. Por eso, aunque hemos intentado ser exhaustivos, algunas tipologías han sido desestimadas y en cuanto a la denominación de cada clase hemos escogido las más usuales.

5.1. PAEV simples y PAEV compuestos

Empecemos. La primera variable que interviene en la clasificación es si el problema se resuelve por más de una operación aritmética. Así, distinguimos entre PAEV simples (o de una etapa), en cuya resolución se necesita únicamente una de las cuatro operaciones elementales, y los PAEV compuestos (o de varias etapas), en el caso de que requiera el uso de varias operaciones.

5.2. Estructura aditiva o estructura multiplicativa

En el caso de los problemas aritméticos elementales verbales simples, la segunda variable que interviene es el tipo de estructura aritmética. De esta forma, nos podemos encontrar ante problemas de estructura aditiva o multiplicativa. Como la adición y la sustracción son operaciones inversas, la segunda suele contemplarse como un caso especial de la primera. El argumento anterior también puede usarse en el caso de la multiplicación y la división.

En el caso de los PAEV compuestos, sin embargo, aunque hay autores que han realizado algunos estudios clasificatorios, estos ni tienen mucha difusión, ni hay unanimidad de opiniones respecto a la pertinencia de dichas taxonomías. Además, pienso que hay otros aspectos más importantes a tratar sobre estos problemas que su tipificación.

5.3. Estructuras semánticas

Volviendo a los PAEV simples, la variable a aplicar tras el tipo de estructura aritmética es el tipo de estructura semántica. Así, con estructura aritmética aditiva tendremos las siguientes clases: cambio, combinación, comparación aditiva e igualación aditiva. Por otro lado, las de estructura aritmética multiplicativa serán: proporcionalidad simple, comparación multiplicativa y producto cartesiano.

A partir de aquí, seguir con el desarrollo de la clasificación implicaría prácticamente definir uno a uno los diferentes tipos de PAEV, cosa que haremos, pero llegado su momento y en sus respectivos artículos (ver tipos de PAEV en el programa del monográfico).

6. Conclusiones

A lo largo de este artículo hemos aprendido bastante sobre los clásicos problemas escolares. Vimos su denominación correcta -problemas aritméticos elementales verbales (PAEV)-, su definición y las dificultades que pueden aparecer durante su resolución. Luego, los localizamos en las clasificaciones de problemas que proponen las autoridades en la materia. Y, para finalizar, explicamos se ha construido la clasificación de PAEV que usaremos en este monográfico.

Sin embargo, también hemos observado que la resolución de problemas en Educación Primaria no puede trabajarse solo con estas actividades; por diversas cuestiones, entre las que destacan que este tipo de problemas escolares no representan la realidad cercana al niño, sino una realidad paralela y que no son, por si solos, una actividad especialmente motivante.

¿Entonces por qué estudiar los PAEV? ¿No sería mejor olvidarnos de ellos e investigar sobre otros tipos de problemas escolares? La cuestión no debe ser “¿PAEV sí o PAEV no?”, sino “¿PAEV cómo y para qué?”.

Los problemas aritméticos elementales verbales son necesarios. Deben ocupar un lugar en nuestras programaciones. Gracias a ellos los niños y niñas empiezan a coger experiencia en ese particular “escrito” matemático que son los problemas. Este bagaje será indispensable más tarde cuando se enfrenten a otros tipos de problemas matemáticos.

Para trabajarlos correctamente debemos conocer los diferentes tipos de problemas aritméticos elementales verbales (PAEV), para no caer en la redundancia, ayudar a los alumnos a superar sus dificultades y realizar una secuenciación correcta. Y, por supuesto, deberíamos ser conscientes de que los PAEV solo cumplen algunas de las funciones más básicas que tiene la resolución de problemas y que, por tanto, para movilizar los demás contenidos que deben trabajarse a través de esta es imprescindible la utilización de otros tipos de tareas matemáticas.

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8. Bibliografía

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