Problemas de igualación

1. ¿Qué son los problemas de igualación aditiva?

Los problemas de igualación aditiva o problemas aditivos de igualación son el cuarto tipo de PAEV que veremos en este monográfico.

En algunos manuales, los problemas aditivos de igualación están incluidos dentro de los problemas de comparación; por las grandes similitudes que existen entre ellos:

• Se comparan dos cantidades.
• Las tres cantidades que entran en juego se nombran de la misma manera: cantidad de referencia (CR), cantidad comparada (CC) y cantidad diferencia (CD).
• Con apenas unos cambios, cualquier problema de igualación puede reformularse como problema de comparación, y a la inversa.

Sin embargo, la mayor parte de expertos convienen en tratarlos como variedades independientes; dado que también existen entre estos importantes diferencias:

• Los problemas de igualación aditiva tienen un carácter dinámico. En este caso, se trata de una comparación en la que una de las cantidades ha de sufrir una transformación para igualarse a otra.
• En su formulación se emplean expresiones comparativas diferentes: «tantos/as… como», «tan… como», «mismos/as… que», «igual que», etc.
• Además del presente del indicativo, en los enunciados aparecen tiempos verbales más complejos, como el condicional simple o el pretérito imperfecto del subjuntivo.
• En lugar de subordinadas adverbiales comparativas, para proponer los enunciados nos valemos de oraciones subordinadas adverbiales condicionales y finales.

Es decir, los problemas aditivos de igualación se parecen tanto a los problemas de comparación, que representan una situación estática, como a los de cambio, en los que se presentan situaciones dinámicas. De hecho, algunos autores describen esta clase de problemas como híbridos de dichas categorías.

Antes de continuar, para ilustrar lo expuesto hasta ahora, analizaremos un par de ejemplos.

EJEMPLO 1. El Burj Khalifa, con sus 828 metros de altura, es el edificio más alto del mundo. Para ser igual de alto que este, la Torre Eiffel debería medir 528 metros más. ¿Cuál es la altura de la Torre Eiffel?

EJEMPLO 2. Un ventilador vale 15 $. Si su precio fuera 119 dólares más caro, costaría lo mismo que un aparato de aire acondicionado. ¿Cuál es el precio de un aire acondicionado?

EJEMPLO 3. El Burj Khalifa, con sus 828 metros, es el edificio más alto del mundo. La Torre Eiffel mide 528 metros menos que este edificio. ¿Qué altura tiene la conocida Torre parisina?

Los dos primeros son problemas de igualación aditiva. En negrita están resaltadas las expresiones comparativas («igual de… que» y «mismo que») y algunos de sus verbos, que, como ya adelantamos, están en condicional simple o pretérito imperfecto del subjuntivo. También hemos subrayado las características oraciones subordinadas adverbiales condicionales y finales de las que hablábamos.

El tercer problema es de comparación. Está formulado a partir del problema de igualación Ejemplo 1. De hecho, es casi idéntico a este: hay una comparación; intervienen tres cantidades (CR, CC y CD); el referente y el comparado son los mismos; y se resuelve mediante una resta. Sin embargo, a diferencia de lo que ocurre en los problemas de igualación aditiva ejemplificados, ninguna de las cantidades sufre transformación, las expresiones utilizadas en la comparación son distintas y las oraciones subordinadas adverbiales de su enunciado no son finales, ni condicionales, sino comparativas.

Dicho esto, podemos proseguir con la caracterización general de estos problemas.

Al igual que el resto de PAEV, se trata de problemas solubles. Los datos son cantidades entre las que se establecen relaciones de tipo cuantitativo. Y para resolverlos, solo es necesario emplear la resta o la suma. El cometido del estudiante será averiguar la cantidad desconocida.

Los problemas aritméticos elementales verbales, y por ende los problemas aditivos de igualación también, son actividades cuya finalidad es movilizar los contenidos de una asignatura. Así, aunque las situaciones son susceptibles de ocurrir, lo que estas verdaderamente representan es el particular mundo de las matemáticas escolares.

Para finalizar este apartado, al igual que hicimos en el primer artículo de este monográfico, debemos recalcar la importancia que tiene conocer las diferentes clases problemas, ya que nos permite:

• eludir la redundancia;
• realizar una secuenciación correcta;
• prestar a nuestro alumnado una mejor ayuda.

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1.1. Definición

Los problemas de igualación aditiva son PAEV de una etapa y estructura aditiva en los que se establece una relación comparativa de igualdad entre dos cantidades. Esta relación, como ya hemos observado, implica el uso de estructuras de cambio y de comparación.

EJEMPLO 4. Roberto tiene 15 tebeos. Carmen tiene 5. ¿Cuántos tebeos tendrían que darle a Carmen para que tuviera los mismos que Roberto?

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nota: la adición y la sustracción son operaciones inversas, así, la segunda suele contemplarse como un caso de la primera.

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La igualación entre esas dos cantidades produce una tercera cantidad, la cantidad en la que se diferencian. De esta forma, tal y como ocurría en el caso de los problemas de comparación aditiva, en los problemas aditivos de igualación, también nos encontramos con 3 cantidades:

• la cantidad de referencia (CR), que es la que tomamos como modelo para la igualación;
• la cantidad comparada (CC), que es la que depende de la igualación; y
• la cantidad diferencia (CD), que es la que la cuantifica.

EJEMPLO 5. El instituto está a 703 (CR) metros de mi casa. Si el colegio estuviera 219 (CD) metros más cerca, estaría a la misma distancia que el instituto. ¿Qué distancia hay de mi casa al colegio (CC)?

En el problema anterior, el referente es el instituto, elemento sobre el que recae la igualación («a la misma distancia que el instituto»), por consiguiente, la CR es la distancia desde este a mi casa, 703 metros. El comparado es el colegio, pero en este caso desconocemos la CC. Lo que sí sabemos es la CD, 219 metros.

De esta manera, dos de las tres cantidades serán conocidas y una desconocida. En consecuencia, la primera variable que diferenciará entre unos y otros problemas de igualación aditiva va a ser el lugar en el que se sitúe la incógnita (en CR, CC o CD).

La otra variable, como pasaba con los problemas de comparación, es el tipo de relación cuantitativa entre la cantidad de referencia y la cantidad comparada. Si la primera es mayor que la segunda (CR>CC) tendremos un problema distinto que cuando suceda lo contrario (CR<CC).

1.2. Otras denominaciones

A diferencia de lo que ocurre con el resto de PAEV que hemos visto hasta ahora, hay cierta unanimidad entre los expertos: no existen otras denominaciones relevantes además de las ya citadas a lo largo de este artículo —problemas aditivos de igualación, problemas de igualación aditiva o, simplemente, problemas de igualación—.

2. Clases de problemas aditivos de igualación

Como veíamos más arriba, lo que estructura la clasificación de los problemas aditivos de igualación es, por un lado, la localización de la incógnita y, por otro, si la cantidad de referencia (CR) es mayor o menor que la cantidad comparada (CC). De esta manera, podemos construir 6 tipos diferentes de problemas aditivos de igualación. Para diferenciar unos de otros, los hemos etiquetado con un número y unas siglas: la A señala que su estructura es aditiva, la I y la G son las dos primeras letras de «igualación»; el número es para distinguir los diferentes subtipos dentro de la categoría.

2.1. Igualación aditiva 1 (AIG1)

Conocemos la cantidad de referencia (CR) y la cantidad comparada (CC), tenemos que calcular la cantidad diferencia (CD). La CR es mayor que la CC. Se resuelve con una resta.

EJEMPLO 6. La casa de Aurora tiene 15 ventanas; mi casa tiene 9. ¿Cuántas ventanas más debería haber en mi casa para que tuviera las mismas que la de Aurora?

CR: 15 | CC: 9 | CD: incógnita

2.2. Igualación aditiva 2 (AIG2)

Como en los AGI1, las cantidades de referencia y comparada son conocidas. Nuestro cometido es dar con la cantidad diferencia. Sin embargo, en este caso la CR es menor que la CC. La operación a realizar es una resta.

EJEMPLO 7. La casa de Aurora tiene 9 ventanas; la mía, 15. ¿Cuántas ventanas menos debería tener mi casa para que hubiera las mismas que en la de Aurora?

CR: 9 | CC: 15 | CD: incógnita

2.3. Igualación aditiva 3 (AIG3)

La CR y la CD son conocidas; CR>CC; tenemos que hallar la CC, para lo que también usamos la resta.

EJEMPLO 8. Mi casa tiene 15 ventanas. Si en la casa de Aurora hubiera 6 más, habría el mismo número de ventanas que en la mía. ¿Cuántas ventanas tiene la casa de Aurora?

CR: 15 | CD: 6 | CC: incógnita

2.4. Igualación aditiva 4 (AIG4)

La CR y la CD son conocidas, pero en este caso CR<CC. Tenemos que hallar la CC. En este caso, para dar con la solución, tenemos que hacer una suma.

EJEMPLO 9. En mi casa hay 9 ventanas. Si la de Aurora tuviera 6 menos, tendría el mismo número de ventanas que la mía. ¿Cuántas ventanas hay en la casa de Aurora?

CR: 9 | CD: 6 | CC: incógnita

2.5. Igualación aditiva 5 (AIG5)

La CC y la CD son conocidas; CR>CC; debemos hallar la CR, cosa que haremos sumando CC y CD.

EJEMPLO 10. Mi casa tiene 9 ventanas: si hubiera 6 más, tendría las mismas ventanas que la casa de Aurora. ¿Cuántas ventanas tiene la casa de Aurora?

CC: 9 | CD: 6 | CR: incógnita

2.6. Igualación aditiva 6 (AIG6)

La CC y la CD son conocidas y tenemos que averiguar CR, pero en este caso la CR es menor que la CC. Para su resolución nos valdremos de la resta.

 EJEMPLO 11. Mi casa tiene 15 ventanas: si hubiera 6 menos, habría las mismas que en la de Aurora. ¿Cuántas ventanas tiene la casa de Aurora?

CC:15 | CD: 6 | CR: incógnita

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Nota

Realmente, para así conservar la sistemática que nos guio en los problemas de comparación, los tipos de problemas de igualación aditiva que hemos visto a lo largo de este apartado debieran intercambiar su numeración: igualación 1 con igualación 2 (o al revés, claro), igualación 3 con igualación 4 e igualación 5 con igualación 6. ¿Por qué? Porque de esta manera proseguiríamos con la misma secuencia de construcción que usamos en la categoría de comparación:

• Comparación 1: incógnita en CD y CR < CC. Comparación 2: incógnita en la CD y CR > CC.
• Comparación 3: incógnita en CC y CR < CC. Comparación 4: incógnita en CC y CR > CC.
• Comparación 5: incógnita en CR y CR < CC. Comparación 6: incógnita en la CR y CR > CC.

Siguiendo el planteamiento anterior, la forma correcta de nombrar los problemas de igualación sería:

• Igualación 1: incógnita en CD y CR < CC. Igualación 2: incógnita en la CD y CR > CC.
• Igualación 3: incógnita en CC y CR < CC. Igualación 4: incógnita en CC y CR > CC.
• Igualación 5: incógnita en CR y CR < CC. Igualación 6: incógnita en la CR y CR > CC.

Sin embargo, nos hemos decantado por la numeración que está más extendida, cuyo criterio organizador es el sentido de la comparación —creciente, para lo que usamos «más… que», o decreciente, para lo que usamos «menos… que»—. Así, por ejemplo, tanto en Comparación 1, como en Igualación 1, la comparación se realiza en sentido creciente; el mismo argumento sirve para el resto de subtipos.[adsense_hint]

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3. Dificultades, estrategias y secuenciación

3.1. Dificultades

En general, muchas de las dificultades que tiene el alumnado con los PAEV están relacionadas con el lenguaje. Los problemas de igualación aditiva no son una excepción. Repasemos algunas de estas dificultades:

• Tal y como ocurría con los problemas de comparación, en este tipo de problemas es relevante la congruencia (AGI2, AGI5 y AGI6) o incongruencia (AIG1, AIG3 y AIG4) del lenguaje y el uso de los pronombres para no repetir el comparado o el referente.
• Se usan el condicional simple y el pretérito imperfecto del subjuntivo, que son tiempos verbales menos familiares para el alumnado de estas edades.
• Las oraciones subordinadas adverbiales condicionales y finales hacen que los enunciados resulten más artificiales y complejos.

3.2. Estrategias

Si, por ejemplo, disponemos de fichas para representar las cantidades, en los dos primeros tipos de problemas aditivos de igualación (AGI1 y AGI2), los alumnos y alumnas pueden utilizar la estrategia de emparejar los elementos representados de la primera cantidad con los de la segunda y ver que los elementos no emparejados son la diferencia (estrategia de separar a); con el resto de los problemas de igualación aditiva, pueden usar contar a partir de lo dado.

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Nota

Debemos resaltar que las estrategias informales de resolución suelen usarse, principalmente, en los problemas de cambio y combinación, que son los primeros tipos de problemas que trabajarán los escolares cuando afronten el aprendizaje de la suma y la resta. En el resto PAEV, al proponerse en momentos más avanzados de la escolarización, juegan un papel menos relevante.

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3.3. Secuenciación

La secuenciación que recomendamos para los seis tipos problemas aditivos de igualación es la siguiente:

• AGI5 y AGI6, que, para los niños y niñas, son los problemas más sencillos, comenzarán a trabajarse en el segundo curso.
• AGI2, AGI1 y ACI3, en tercero.
• AGI4, que es el más complicado, se introducirá en cuarto o, incluso, en quinto.

Lo anterior tiene como único objetivo servir de guía. En la práctica, será el conocimiento que el docente tenga de su alumnado la mejor herramienta para una correcta secuenciación.

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4. Biografía

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