Problemas de cambio

1. ¿Qué son los problemas de cambio?

Los problemas de cambio o problemas aditivos de cambio son un tipo de problema aritmético elemental verbal (PAEV). Es la primera clase de PAEV que veremos en este monográfico. Y, también, junto a los problemas de combinación, serán los primeros problemas escolares a los que los alumnos y alumnas se enfrentarán a lo largo de su vida académica.

Es un tipo de problema con solución. Los datos son cantidades expresadas verbal o numéricamente y entre estos se establecen relaciones cuantitativas. Para su resolución únicamente será necesario utilizar una resta o una suma. El cometido del estudiante consiste en determinar la cantidad que se desconoce.

Al igual que el resto de PAEV, los problemas de cambio son propuestas didácticas cuyo objetivo es trabajar los contenidos de una asignatura y, si bien las situaciones imaginarias que representan pudieran producirse, lo que realmente representan es el particular mundo de las matemáticas escolares.

Estas situaciones se exponen mediante enunciados verbales y son de una de las variables principales que dan forma a la clasificación de los PAEV (problemas aritméticos elementales verbales).

Como vimos en el primer artículo de este monográfico, conocer las diferentes tipologías de problemas es fundamental para realizar una buena labor didáctica en la resolución de problemas, pues evitaremos caer en la redundancia, realizaremos una secuenciación correcta y podremos ayudar a que nuestros alumnos y alumnas superen sus dificultades.

1.1. Definición

Los problemas de cambio son PAEV de una etapa y su estructura es aditiva. Es decir, son problemas aditivos y para su resolución únicamente será necesario realizar una operación de sumar o de restar.

---

nota: la adición y la sustracción son operaciones inversas, así, la segunda suele contemplarse como un caso de la primera.

---

Como indica su propia denominación, los problemas de cambio representan una situación en la que una cantidad inicial de una determinada magnitud sufre un cambio o transformación que la modifica para llegar a una cantidad final.

Dependiendo del sentido de la transformación, creciente o decreciente, tendremos dos superclases de problemas de cambio: problemas de cambio aumentando y problemas de cambio disminuyendo.

La otra variable que entra en juego es la situación de la incógnita. Es decir, el dato que debemos averiguar, que puede ser la cantidad inicial, la transformación o la cantidad final.

De esta forma, podemos construir 6 tipos de situaciones diferentes, que son las que veremos a continuación.

1.2. Otras denominaciones

Problemas de transformación de medidas (Belmonte, 2003), estado-transformación-estado (Godino, 2004) o problemas aditivos de cambio.

---

Notas

1. En nuestro monográfico encontrarás información sobre otros tipos de PAEV.

2. Como veremos más adelante, este carácter dinámico que tienen los problemas de cambio los emparenta con otra tipología de PAEV de estructura aditiva, los problemas de igualación.

---

2. Clases de problemas de cambio

Existen seis posibles situaciones de cambio. Cada tipo va nombrado por un número. También hemos usado unas siglas. La primera A hace referencia a la estructura aditiva, CA a las dos primeras letras de cambio y el número es para distinguirlo entre los seis de su misma especie.

2.1. Problemas de Cambio 1 (ACA1)

2.1.1. Definición

Los problemas de cambio 1 (ACA1) presentan situaciones en la que una cantidad inicial conocida sufre una transformación en sentido creciente produciendo una cantidad final desconocida. El estudiante tiene que averiguar la cantidad final. Se resuelven mediante una suma.

2.1.2. Ejemplos

EJEMPLO 1. Loreto tiene 9 cromos. Le dan 6. ¿Cuántos tiene ahora?

EJEMPLO 2. Un barco transporta 10 contenedores de mercancías. Atraca en un puerto para cargar 7 más y luego prosigue su travesía. ¿Cuántos contenedores hay en el barco después de zarpar?

2.1.3. Otras denominaciones

Problemas de transformación de medidas tipo 1 (Belmonte, 2003), problemas de cambio aumentando final desconocido (Cañadas & Castro Rodríguez, 2011; Maza, 2008) o problemas aditivos de cambio 1.

2.2. Problemas de Cambio 2 (ACA2)

2.2.1. Definición

Los problemas cambio 2 (ACA2) muestran situaciones casi idénticas a la anteriores. Tenemos una cantidad inicial conocida que sufre una transformación en sentido decreciente produciendo una cantidad final desconocida. También debemos hallar la cantidad final, pero, en este caso, para su resolución utilizaremos la resta.

2.2.2. Ejemplos

EJEMPLO 3. Pepe tiene 9 euros. Gasta 6. ¿Cuántos euros le quedan?

EJEMPLO 4. Un autobús lleva 10 pasajeros, pero en la primera parada bajan 7. ¿Cuántos viajan ahora en el autobús?

2.2.3. Otras denominaciones

Problemas de transformación de medidas tipo 4 (Belmonte, 2003), problemas de cambio disminuyendo final desconocido (Cañadas & Castro Rodríguez, 2011; Maza, 2008) o problemas aditivos de cambio 2.

2.3. Cambio 3 (ACA3)

2.3.1. Definición

Los problemas aditivos de cambio 3 (ACA3) plantean situaciones en las que existe una cantidad inicial conocida que sufre una transformación creciente, en este caso desconocida, que origina una cantidad final que sí sabemos. Debemos descubrir la cantidad de la transformación. La solución la obtendremos tras efectuar una resta.

2.3.2. Ejemplos

EJEMPLO 5. Anna tiene 9 caramelos. Su madre le da algunos más. Si ahora tiene 16, ¿cuántos le dio su mamá?

EJEMPLO 6. En el almacén de una obra quedan 9 palés de ladrillos. Un camión trae algunos más, así que ahora hay 16. ¿Qué cantidad de palés descargó el camión?

2.3.3. Otras denominaciones

Problemas de transformación de medida tipo 2 (Belmonte, 2003), cambio aumentando cambio desconocido (Cañadas & Castro Rodríguez, 2011; Maza, 2008) o problemas aditivos de cambio 3.

2.4. Cambio 4 (ACA4)

2.4.1. Definición

Los problemas aditivos de cambio 4 (ACA4) modelan situaciones en las que hay una cantidad inicial conocida que es sometida a una transformación decreciente, en este caso desconocida, originando una cantidad final que sí sabemos. Nuestro cometido es dar con el valor de la transformación. La solución se obtiene tras efectuar una resta.

2.4.2. Ejemplos

EJEMPLO 7. Dieciséis niños y niñas juegan en un parque al escondite. A las siete, algunos se marchan a casa. Si ahora hay nueve, ¿cuántos se fueron?

EJEMPLO 8. Antes de salir de viaje en la pantalla del ordenador de a bordo de nuestro coche dice que tenemos 16 litros de combustible. Al llegar, volvemos a mirar y pone que quedan 9. ¿Cuánto combustible hemos gastado?

2.4.3. Otras denominaciones

Problemas de transformación de medida tipo 5 (Belmonte, 2003), cambio disminuyendo cambio desconocido (Cañadas & Castro Rodríguez, 2011; Maza, 2008) o problemas aditivos de cambio 4.

2.5. Cambio 5 (ACA5)

2.5.1. Definición

Los problemas aditivos de cambio 5 (ACA5) representan situaciones en las que hay una cantidad inicial desconocida que es sometida a una transformación creciente dando como resultado una cantidad final conocida. El objetivo es averiguar el valor de la cantidad inicial. La solución se obtiene tras efectuar una resta.

2.5.2. Ejemplos

EJEMPLO 9. En un árbol había una bandada de pajarillos. Tras un rato se posaron otros 9. Después de contarlos todos caí en la cuenta de que había un total de 16. ¿Cuántos pajarillos estaban posados en el árbol al principio?

EJEMPLO 10. Tras salir del supermercado llevaba en la bolsa varias latas de conservas y luego paré en otra tienda para comprar 9 más. Al llegar a casa las ordené todas en la despensa y vi que en total eran 16. ¿Cuántas compré en el supermercado?

2.5.3. Otras denominaciones

Problemas de transformación de medida tipo 3 (Belmonte, 2003), cambio aumentando comienzo desconocido (Cañadas & Castro Rodríguez, 2011; Maza, 2008) o problemas aditivos de cambio 5.

2.5. Cambio 6 (ACA6)

2.5.1. Definición

Los problemas aditivos de cambio 6 (ACA6) simulan realidades en las que existe una cantidad inicial desconocida que es sometida a una transformación decreciente, y se obtiene una cantidad final conocida. El objetivo es averiguar el valor de la cantidad inicial. La solución se obtiene tras efectuar una suma.

2.5.2. Ejemplos

EJEMPLO 11. Julián ha sacado de su hucha 9 euros para comprarle un regalo a su madre. Así que ahora sus ahorros se reducen a 7 euros. ¿Cuánto tenía antes de gastarse ese dinero?

EJEMPLO 12. Imagina que estamos sentados frente a la puerta de un teatro. Antes de que termine la obra nueve personas abandonan la sala, y cuando acaba salen siete más. ¿Cuántas personas asistieron a la función?

2.5.3. Otras denominaciones

Problemas de transformación de medida tipo 6 (Belmonte, 2003), cambio disminuyendo comienzo desconocido (Cañadas & Castro Rodríguez, 2011; Maza, 2008) o problemas aditivos de cambio 6.

---

nota: ¿cómo recordamos fácilmente en qué consiste cada tipo?

• Primero colocamos la incógnita en la cantidad final, luego en la transformación y después en la inicial; y en cada uno de estos sitios hay un problema de tipo creciente y otro decreciente.

• Cambio 1 (incógnita final-creciente), cambio 2 (incógnita final-decreciente), cambio 3 (incógnita transformación-creciente), cambio 4 (incógnita transformación-decreciente), cambio 5 (incógnita inicial-creciente) y cambio 6 (incógnita inicial-decreciente).

---

3. Estrategias informales de resolución

Como comentábamos al principio, los problemas de cambio y los de combinación son los primeros PAEV que estudian los alumnos en la escuela. De hecho, son una de las típicas actividades a través de las cuales se enseñan las operaciones sumar y restar.

Por eso, los alumnos y alumnas se valen de una serie de estrategias no formales en las que van apoyándose hasta que asimilan y comprenden por completo el significado de estas operaciones.

Así, a través del análisis de estas estrategias obtendremos información acerca de las dificultades que entraña cada clase problema. En este otro artículo describimos las más usuales y, a continuación, citaremos de cuáles suelen valerse el alumnado para resolver cada uno de los problemas de cambio que hemos visto.

Pero antes, vamos a agrupar nuestros seis tipos de problemas aditivos de cambio en:

– Problemas que permiten la realización de un modelado directo: ACA1 y ACA2.

– Problemas que no permiten la realización de un modelado directo: ACA3, ACA4, ACA5 y ACA6.

La agrupación anterior nos ayudará a entender por qué con cada tipo se emplean unas estrategias no otras.

---

nota: en este artículo te explicamos lo que es el modelado directo.

---

3.1. Estrategias informales usadas en ACA1, ACA2, ACA3 y ACA4

◊ ACA1: contar todo y contar a partir del primer sumando.

◊ ACA2: separar de y contar hacia atrás.

◊ ACA3: contar a partir de lo dado, separar a y contar hacia atrás hasta.

◊ ACA4: contar a partir de lo dado, se parar a y contar hacia atrás hasta.

3.2. ¿Y para ACA5 y ACA6 no hay estrategias?

Para resolver estos problemas podrían usarse algunas de las estrategias citadas anteriormente, por ejemplo, sería factible valernos de contar hacia atrás para dar con la solución de un ACA5 o contar a partir de lo dado, en el caso de un ACA6. Sin embargo, no tiene sentido usarlas, principalmente porque cuando propongamos estos dos tipos de PAEV el alumnado ya debería manejar estrategias de resolución formales y las propiedades de la suma y de la resta.

---

nota: aunque todas las estrategias se han presentado de la misma manera, es decir, realizando una modelización con objetos o dedos, algunas son fundamentalmente verbales: contar a partir de lo dado, contar hacia atrás, contar hacia atrás hasta y contar hasta.

---

4. Secuenciación

A lo largo de este artículo nos hemos ocupado de caracterizar las diferentes tipologías de problemas aditivos de cambio, de conocer las denominaciones que otros autores dan a estas y de analizar las estrategias informales que usan los estudiantes cuando se enfrentan a este tipo de problemas.

Sin embargo, todavía no nos hemos ocupado de algo sumamente importante, la secuenciación. No fue fácil elaborar las recomendaciones que, a continuación, vamos a ofrecerte. Para este monográfico buscamos información en cerca de un centenar de publicaciones especializadas, de las que, para trabajarlas a fondo, seleccionamos veinticinco. Sin embargo, solo en 4 de estas venía información acerca de cómo secuenciar los problemas aditivos de cambio.

Pero suplimos dicha escasez con una minuciosa labor de comparación y reflexión. Dicho esto, a continuación, exponemos la secuencia de trabajo que estimamos más oportuna. Si tienes alguna duda, o sugerencia, ponte en contacto con nosotros dejando un comentario en este artículo o rellenando el formulario que a tal efecto tenemos en nuestra web.

• Cambio 1-ACA1: 6 años – curso 1

• Cambio 2-ACA2: 6 años – curso 1

• Cambio 3. ACA3: 7 años – curso 2

• Cambio 4-ACA4: 7 años – curso 2

• Cambio 5-ACA5: 9 años – curso 4

• Cambio 6-ACA6: 8 años – curso 3

5. Resumen

Hemos elaborado la siguiente infografía a modo de resumen.

---

6. Bibliografía

Mostrar