Problemas de combinación

1. ¿Qué son los problemas de combinación?

Los problemas de combinación o problemas aditivos de combinación son un tipo de problema aritmético elemental verbal (PAEV). Es la segunda clase de PAEV que estudiaremos en este monográfico, y, junto a los problemas de cambio, también serán uno de los primeros problemas escolares a los que el alumnado se enfrentará en su vida académica.

Se trata de problemas con solución. Sus datos son cantidades expresadas verbal o numéricamente, y entre estos se establecen relaciones de tipo cuantitativo.

Para resolverlos solamente necesitaremos utilizar la resta o la suma. El cometido del estudiante consiste en determinar la cantidad que se desconoce.

Como el resto de PAEV, los problemas de combinación son propuestas didácticas cuyo objetivo es trabajar los contenidos de una asignatura. Así, aunque las situaciones imaginarias que describen podrían suceder, lo que realmente representan es el particular mundo de las matemáticas escolares.

Estas situaciones se exponen mediante enunciados verbales, y son una de las variables principales que dan forma a la clasificación de los PAEV (problemas aritméticos elementales verbales).

Como vimos en el primer artículo de este monográfico, conocer las diferentes tipologías de problemas es importantísimo, pues nos permite:

• evitar la redundancia,
• secuenciar correctamente,
• ayudar a que nuestros alumnos y alumnas superen sus dificultades.

1.1. Definición

Los problemas de combinación son un tipo de PAEV de una etapa y estructura aditiva, en los que dos conjuntos se combinan y forman otro conjunto que los incluye.

Aunque es la más extendida, esta denominación puede resultar confusa, porque combinar es un término que se utiliza en otros temas del currículum escolar, y, además, es sinónimo de unión, una palabra relacionada únicamente con la adición.

De hecho, en algunos manuales se define los problemas de combinación como aquellos en los que dos cantidades o medidas se combinan para formar una tercera. Algo que solo es «cierto» en el caso de uno de los tipos.

Aun así, nos hemos decantado por esta denominación, por ser la más usual, y, además, porque una vez hecha las consideraciones anteriores no creemos que lo planteado sea motivo suficiente para desestimarla en favor de otras designaciones que luego veremos.

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nota: la adición y la sustracción son operaciones inversas, así, la segunda suele contemplarse como un caso de la primera.

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Bien, como decíamos más arriba, dos colecciones se combinan para forma una colección que las comprende o, en otras palabras, tenemos dos partes que forman un todo. Por tanto, en los problemas de combinación entran en juego tres cantidades, dos conocidas y una desconocida. Así que dependiendo del lugar que ocupe la incógnita hablaremos de una clase de problema de combinación o de otra. Sin embargo, como las partes son intercambiables, el número de estas se reduce a dos.

En este sentido, aunque no implica la creación de nuevas subclases, debemos resaltar que ni la construcción de los conjuntos, ni cómo estos se combinan, son expresados siempre de la misma manera. Veamos los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1. Raquel ha cogido 10 setas y Gabriel 15. ¿Cuántas setas tienen entre los dos?

EJEMPLO 2. Salomé ha cogido 10 ciruelas y Constancio 15 plátanos. ¿Cuántas frutas cogieron?

EJEMPLO 3. Roberto tiene 5 canicas rojas y 3 azules. ¿Cuántas tiene en total?

EJEMPLO 4. Carmen tiene 5 euros en una hucha y 3 en el banco. ¿Cuánto ha ahorrado?

En el primer problema la combinación aparece explícitamente, porque los dos conjuntos tienen elementos pertenecientes a la misma categoría (setas) y además también se señala en la pregunta (entre los dos).

Sin embargo, en el segundo problema la combinación está implícita, porque los conjuntos tienen elementos de diferentes categorías (ciruelas y plátanos). En este caso, la relación y la inclusión vienen determinadas por el significado de las palabras. Para ejemplificar lo anterior nos serviremos de las siguientes definiciones:

• La ciruela es una fruta que podemos encontrarla de diferentes colores (verde, amarillo, morado, etc.). Se obtiene del ciruelo, un árbol de hojas ovalada y flores blanquecinas.
• El plátano es una fruta alargada con la corteza lisa y amarilla. Se obtiene de un árbol de igual nombre, que tiene grandes hojas palmeadas.
• La fruta es el fruto comestible de ciertas plantas, generalmente las que son cultivadas por los humanos.

Por tanto, ciruela y plátano son frutas, y forman parte de una categoría que las incluye a ambas. Conque, no era necesario expresar en el enunciado que las dos colecciones se combinan.

Vayamos con el tercer ejemplo. En este lo que se explicita es la construcción de las colecciones. Es decir, tenemos dos clases de canicas con el color como variable diferenciadora. En lo demás es igual que el primero.

Finalmente, en el cuarto problema todas colecciones están formadas por lo mismo, euros, y las diferencias vienen dadas por el lugar donde estos están. Sin embargo, también hay que contemplar una inclusión implícita, pues los ahorros no son el dinero en general, sino aquel dinero que tenemos guardado para usarlo más adelante.

Como puede observarse, la relación entre los conjuntos, y entre estos y el todo, viene determinada por sustantivos, adjetivos, la localización, etc.

Para terminar este apartado, es importante subrayar que, a diferencia de lo que ocurre en los problemas de cambio, en los problemas de combinación no hay ninguna acción que transforme las cantidades. Por consiguiente, todas las cantidades permanecen estáticas. Este detalle, como observaremos más adelante, determina el tipo de modelización que permite el problema y las estrategias que pueden escogerse para resolverlo.

1.2. Otras denominaciones

Problemas de composición de medidas (Belmonte, 2003), estado-estado-estado (Godino, 2004) o problemas de parte-parte-todo.

2. Clases de problemas de combinación

Como dijimos en el punto anterior, la situación de la incógnita es la variable que determina las dos clases de problemas de combinación que existen. Para diferenciarlos se les asigna un número. También los hemos acompañado de unas siglas: la “A” hace referencia a la estructura aditiva y “CO” son las dos primeras letras de “combinación”.

2.1. Combinación 1 (ACO1)

2.1.1. Definición

Conocemos la medida de cada una de las partes y debemos averiguar la cantidad correspondiente a la totalidad que conforman. Es decir, la incógnita se sitúa en el todo.

2.1.2. Ejemplos

EJEMPLO 5. Mercedes ha hecho una lista con 8 de sus amigos en una cara del papel y 6 en la otra. ¿Cuántos ha escrito en total?

EJEMPLO 6. En un salón hay 7 mesas y 28 sillas. ¿Cuántos muebles hay en total?

2.2. Combinación 2 (ACO2)

2.2.1. Definición

Sabemos lo que mide el todo y una de las partes. El objetivo es dar con la medida correspondiente a la otra. Por tanto, en este caso la incógnita la tenemos en una de las partes.

2.2.2. Ejemplos

EJEMPLO 7. En una manada de 17 jirafas hay varias crías y 11 adultos. ¿Cuántas crías hay?

EJEMPLO 8. Para moverse de ciudad en ciudad un circo necesita 67 vehículos. Sabemos que el número de camiones asciende a 53. ¿Cuál es el número de furgonetas?

3. Estrategias informales de resolución

Como decíamos al principio, los problemas de combinación y los de cambio son los primeros PAEV a los que se enfrentan los alumnos en la escuela. No en vano, las operaciones de sumar y restar suelen introducirse a través estos dos tipos de problemas.

De ahí que, durante un tiempo, los alumnos y alumnas se valgan para resolverlos de una serie de estrategias no formales, que irán abandonando a medida que asimilan y comprenden por completo el significado de dichas operaciones.

Gracias al análisis de estas estrategias podremos determinar qué dificultades son las que comúnmente encuentra el alumnado para resolver estas actividades matemáticas. En Estrategias informales de resolución de PAEV simples explicamos en qué consisten las estrategias más usuales.

Más abajo citaremos de cuáles se valen los alumnos y alumnas para resolver los dos tipos de problemas de combinación. Pero antes, vamos a hablar de otra característica que los diferencia.

Nos referimos a la clase de modelado que permite cada problema. En el caso del ACO1, podremos realizar lo que se denomina un modelado directo, sin embargo, con el ACO2 no es factible realizar dicho modelado directo, pues no hay forma de representar la parte desconocida usando las estrategias informales de resolución.

Finalmente, volvamos a las estrategias. Como únicamente existen dos tipos de problemas de combinación, no nos extenderemos mucho. Así, para el ACO1, los alumnos y alumnas suelen servirse de la estrategia de contar todo y contar a partir del primer sumando. Por otro lado, para el ACO2, las estrategias correctas serían separar de y contar hacia atrás.

4. Secuenciación

En este post hemos:

• caracterizado las diferentes tipologías de problemas aditivos de combinación,
• conocido los nombres que otros autores les dan y
• repasado las estrategias informales que los estudiantes usan para resolverlos.

Sin embargo, todavía no nos hemos ocupado de una cuestión muy importante, la secuenciación. Aunque posiblemente nadie conozca mejor a tus alumnos que tú, estamos seguros de que no te vendrán mal algunos consejos de carácter general.

No fue sencillo elaborar estas recomendaciones. Buscamos información más de un centenar de publicaciones especializadas, de las que, para trabajarlas a fondo, seleccionamos veinticinco. Pero solo en 4 de estas se hablaba con profundidad acerca de cómo secuenciar los problemas aditivos de combinación.

De esta manera, tuvimos que suplir esta escasez con una minuciosa labor de comparación y reflexión.

Solo tenemos dos problemas de combinación, por tanto, la secuenciación es bien sencilla. Los ACO1, al ser los que menos dificultades entrañan se podrán trabajar a partir del primer curso (6 años), aunque es común que algunos alumnos de infantil puedan resolverlos sin problemas. Para los ACO2 se recomienda comenzar en el tercer curso (8 años).

 

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5. Bibliografía

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