Progresiones geométricas - Definición, T. general, ejercicios..

Índice

1. Introducción

Las progresiones geométricas están muy presentes en nuestro día a día (a diferencia de lo que ocurren con las progresiones aritméticas). Por ejemplo, son progresiones geométricas las que describen la reproducción bacteriana, algunas operaciones bancarias, la organización de un torneo, el número de ancestros que tenemos, etc.

Trabajar la relación entre el conocimiento matemático y nuestro entorno es un objetivo que nunca debemos perder de vista. Y en este sentido, el estudio de las progresiones geométricas nos ofrece múltiples ejemplos sobre el carácter útil y práctico que tienen las matemáticas.

Uno de los objetivos fundamentales de la enseñanza de las matemáticas tendría que ser tender puentes entre las matemáticas escolares y la vida de nuestros alumnos (Corbalán, 2001).

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2. Definición y propiedades

2.1. Definición de progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión recurrente en la que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón, que representaremos con la letra r. En la siguiente ilustración se muestra gráficamente lo anterior.

Imagen que muestra la forma en la que se relacionan los términos de las progresiones geométricas y la razón. — Clic para ampliar

"La única forma de aprender matemáticas es hacer matemáticas" - Paul Halmos - Frase 1 para ilustrar el artículo sobre progresiones geométricas — Disfruta de más frases como esta aquí

Veamos los siguientes ejemplos.

◊ $8,16,32,64,128,256...$

◊ $625,-125,25,-5,1,-\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{25}...$

◊ $3;0{,}3;0{,}03;0{,}003;0...$

◊ $1331,31,11,1,\dfrac{1}{11},\dfrac{1}{121}...$

◊ $\dfrac{1}{2\sqrt{2}}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, 1...$

Las dos primeras son sucesiones de números enteros con las siguientes reglas de formación: “cada término, menos el primero, se obtiene multiplicando el anterior por 2” y “los términos, a partir del segundo, son el producto del anterior por -1/5”. Por tanto, son dos progresiones geométricas con razón 2 y -1/5. La tercera y la cuarta son sucesiones de números racionales, y la quinta de números reales. Si te apetece, averigua las razones de estas tres progresiones.

2.2. Propiedades de las progresiones geométricas

Gracias a la definición anterior podemos describir dos propiedades que cumplen todas las progresiones geométricas, que nos servirán luego en la resolución de problemas.

P1: El cociente entre cualquier término y su anterior es constante.

$\begin{align*}\frac{a_{2}}{a_{1}}&=\frac{a_{3}}{a_{2}}\\&=\frac{a_{4}}{a_{3}}\\&=...\\&=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\\&=r\end{align}$

P2: El producto de dos términos cualesquiera, equidistantes de los términos extremos, es constante e igual al producto de dichos extremos.

$\begin{align*} a_{2}\cdot a_{n-1} &= a_{3}\cdot a_{n-2}\\ &=a_{4}\cdot a_{n-3} \\ &= ...\\ &=a_{1}\cdot a_{n} \end{align}$

La primera responde a algo que ya habíamos apuntado en la definición: “cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo”. Es otra forma de decir lo mismo.

Para entender la segunda necesitamos observar que cualquier término de una progresión geométrica puede expresarse en función de otro multiplicando o dividiendo este por la razón o una potencia de esta. Por comodidad y claridad, en lugar de dividir vamos a multiplicar por su inversa, que como sabemos es lo mismo que dividir. De todas formas, lo veremos a continuación, cuando hagamos el desarrollo de a_n-1. Así, tenemos que:

a₂ = a₁ · r

a_n-1 = $\dfrac{a_n}{r}$ = a_n · $\dfrac{1}{r}$ = a_n· r^-1

a₃ = a₂ · r = a₁ · r · r = a₁· r²

a_n-2 = a_n-1 · r^-1 = a_n · r^-1 · r^-1= a_n · r^-2

a₄ = a₃ · r = a₂ · r · r = a₁ · r · r · r = a₁· r³

a_n-3 = a_n-2 · r^-1 = a_n-1 · r^-1 · r^-1 = a_n · r^-1 · r^-1 · r^-1= a_n · r^-3

Si sustituimos lo resaltado en rojo por cada término correspondiente, la igualdad inicial (2) puede expresarse así:

$\begin{align*}a_{1}\cdot r\cdot a_{n}\cdot r^{-1}&=a_{1}\cdot r^{2}\cdot a_{n}\cdot r^{-2}\\&=a_{1}\cdot r^{3}\cdot a_{n}\cdot r^{-3}\\&=...\\&=a_{1}\cdot a_{n}\end{align*}$

Pero, como vemos, en cada uno de los miembros de la igualdad se anulan los términos con r, de forma que lo que nos queda es:

$\begin{align*}a_{1}\cdot a_{n}&=a_{1}\cdot a_{n}\\&=a_{1}\cdot a_{n}\\&=...\\&=a_{1}\cdot a_{n}\end{align*}$

"Si la gente no creen que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan cuenta de lo complicado que es la vida" - John Louis von Neumann - Frase 2 para ilustrar el artículo sobre progresiones geométricas — Disfruta de más frases como esta aquí

3. Término general

3.1. Fórmula del término general de las progresiones geométricas

3.1.1. Desarrollo

La definición ofrecida en el segundo apartado somos capaces de hallar cualquier término conocidos el primero (a₁) y la razón (r) de una progresión geométrica. Sin embargo, cuando el valor de n es alto hacerlo supone un proceso lento y tedioso. Así, por ejemplo, ¿qué pasaría si quisiéramos obtener el valor del término que ocupa el lugar 100 (a₁₀₀) en una progresión geométrica con primer término 2 y razón 3.

Por tanto, tenemos que encontrar una expresión que nos sirva para calcular cualquier término de una progresión geométrica sabiendo a₁ y r. Con tal fin nos ayudaremos de la progresión geométrica que antes hemos puesto de ejemplo y de la expresión que representa en general cualquier sucesión. Recordémoslas:

2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, …

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a_6,a₇, a₈, …

Tabla en la que se desarrolla el término general de las progresiones geométricas — Clic para ampliar

Como vemos, el planteamiento que hemos seguido es idéntico al que usamos para encontrar la fórmula del término general de las progresiones aritméticas. Solo nos queda completarla con algunas aclaraciones.

3.1.2. Fórmula

El término general (a_n) de una progresión geométrica de primer término a₁ y razón r viene dado por la siguiente fórmula:

$\boxed{a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}}$

Donde n es un número natural y a_n, a₁ y r número reales.

"Un matemático es un hombre ciego en un cuarto oscuro tratando de buscar a un gato negro que no está allí" - Charles Darwin- Frase 3 para ilustrar el artículo sobre progresiones geométricas — Disfruta de más frases como esta aquí

3.2. Generalización para a_n en función de a_k

3.2.1. Desarrollo

En la fórmula anterior el término general viene dado en función de a₁. Como ya hemos dicho, ayudándonos de esta fórmula podremos calcular el valor del término que ocupa cualquier lugar si conocemos a₁ y r. Sin embargo, ¿qué pasa si el término que sabemos es otro? Existen varias formas de responder a esta pregunta, pero nos centraremos en dos.

La primera no es formal, pero es fácil de comprender y de recordar. Empero, tiene como inconveniente el hecho de que podemos cometer errores al asignar valores equivocados en la fórmula (lo veremos más abajo). Dicho lo cual, usemos el siguiente ejercicio a modo de ejemplo.

Ejemplo 1. Encuentra el término vigésimo segundo de una progresión geométrica con razón 3 y décimo término 39366.

Debido a que desconocemos a₁, para aplicar la fórmula una buena idea es considerar que los términos desde a₁₀ (39366) hasta a₂₂ son una nueva sucesión en la que la razón es la misma (3) y el primer término es 39366 (a₁).

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a_6,a₇, a₈, a₉, 39366, a₁₁, a₁₂, a₁₃, a_14,a₁₅, a₁₆, a₁₇, a₁₈, a₁₉, a₂₀, a₂₁, a_22, …

Y ahora nos debemos estar concentrados y reflexionar antes de responder a la siguiente pregunta: ¿cuál es el valor de n? En este punto es donde, un pequeño de desliz puede echarnos todo el trabajo por tierra. Si para calcularlo solo restamos 22 – 10 = 12, estaremos omitiendo el primer término. Como puedes ver en la lista de más arriba los términos resaltados son 13. Por consiguiente, podemos restar, pero luego debemos añadir uno más. Así, el término número 13 de nuestra progresión será el vigésimo segundo de la original. Únicamente nos queda sustituir los valores en la fórmula.

$\begin{align*}a_{n}&=a_{1}\cdot r^{n-1}\rightarrow\\a_{13}&=39366\cdot 3^{13-1}\\&=20920706406\end{align*}$

El término vigésimo segundo es 20920706406.

La segunda opción, la formal, es la más recomendable. Nos obliga a recordar otra fórmula, pero esta es tan parecida a la anterior que no nos resultará difícil hacerlo. Además, si hemos entendido el desarrollo que hicimos para encontrar la otra, llegaremos a la conclusión de que la primera es la aplicación en un caso particular de la que la que expondremos a continuación. Manos a la obra.

Sean a_n y a_k dos términos de una progresión geométrica con razón r, que cumplen que n > k. Utilizando la fórmula que ya conocemos podemos expresarlos como el siguiente sistema de ecuaciones:

$\left.\begin{matrix} a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1} \\ a_{k}= a_{1}\cdot r^{n-k} \end{matrix}\right\}$

Si despejamos a₁ en dichas ecuaciones tenemos que:

$\begin{align*} a_{1}&=\frac{a_{n}}{r^{n-1}}\\a_{1}&=\frac{a_{k}}{r^{k-1}}\end{align*}$

Al igualar nos quedará una ecuación:

$\frac{a_{n}}{r^{n-1}}=\frac{a_{k}}{r^{k-1}}$

Luego despejamos a_n y simplificamos.

$\begin{align*}a_{n}&=\frac{a_{k}\cdot r^{n-1}}{r^{k-1}}\\&=a_{k}\cdot\frac{r^{n-1}}{r^{k-1}}\\&=a_{k}\cdot r^{n-k}\end{align*}$

Hemos encontrado una fórmula con la que calcular a_n conociendo la razón y cualquier término de una progresión geométrica. Se diferencia de la otra, que expresaba el término general en función del primer término (a₁), en que esta lo expresa en función de cualquier otro término de la sucesión (a_k), cuyo número de orden sea menor que el de a_n, claro está. La volvemos a ver en el siguiente subapartado.

"Las matemáticas puras son, en su forma, la poesía de las ideas lógicas" - Albert Einstein - Frase 4 para ilustrar el artículo sobre progresiones geométricas — Disfruta de más frases como esta aquí

3.2.2. Fórmula

$\boxed{a_{n}=a_{k}\cdot r^{n-k}}$

En la expresión anterior n y k son números naturales, tales que n > k, y a_n, a_k y r números reales.

La fórmula es prácticamente idéntica a la otra. Nos serviremos de ella para hallar cualquier término, también en el caso de que conociéramos a₁ (solo tendríamos que sustituir 1 por k y estaríamos ante la fórmula original).

4. Suma de los términos

4.1. Fórmula de la suma de los términos de las progresiones geométricas

4.1.1. Desarrollo

Cuando hablamos de suma de los términos de una progresión geométrica nos referimos, en realidad, a la suma de una serie de términos consecutivos. También suele hablarse de la suma de los enésimos primeros términos de una progresión geométrica. Es decir, la suma de todos los términos que van desde a₁ a a_n, ambos inclusive. Sin embargo, como vimos en el apartado anterior, podemos trabajar con una sección de una sucesión y usar las fórmulas que ya sabemos de las progresiones geométricas. Por lo que también podremos sumar los términos consecutivos que van desde a_k a a_n, siendo n > k. Después veremos la manera en la que se hace. Ahora vamos a construir una fórmula que nos permita sumar los términos de una progresión geométrica. Empecemos.

La suma de los términos de una progresión geométrica podemos notarla como sigue:

S = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-2 + a_n-1 + a_n

Lo primero que vamos a hacer es multiplicar ambos lados por r. ¿Por qué por r? Como hemos visto anteriormente, cualquier término de una progresión geométrica puede expresarse en función del primero multiplicado por potencia de r. Por tanto, es razonable pensar que en nuestra fórmula aparecerán este primer término y la razón. Y, además, como necesitaremos saber hasta qué término debemos realizar la suma, también habremos de contar con an. Dicho esto, está claro que nuestro objetivo es deshacernos de todas las demás variables presentes en esa ecuación. En un par de pasos veremos que multiplicar por r es muy buen comienzo. Vayamos a ello.

r · S = r · a₁ + r · a₂ + r · a₃ … + r · a_n-2 + r · a_n-1 + r ∙ a_n

Sin embargo, todos esos términos multiplicados por r son el siguiente (r · a₁ = a₂; r · a₂ = a₃; …; r · a_n-2 = a_n-1; r · a_n-1 = a_n). Así que la expresión anterior podemos simplificarla y dejarla así:

r · S = a₂ + a₃ … + a_n-2 + a_n-1 + a_n + r ∙ a_n

Llegados a este punto, si observamos detenidamente la expresión anterior y la original, podemos ver que en la primera aparece a₁ y en la segunda r ∙ a_n, que son precisamente las variables con las que previsiblemente deberíamos contar en nuestra fórmula. Dado que en todo lo demás dichas expresiones son iguales, si restamos la primera a la segunda nos quedará una expresión simplificada en las que intervienen únicamente las variables que ya habíamos adelantado (para restarla lo que realmente hacemos es sumar la primera expresión con ambos miembros cambiados de signo).

Arreglo que muestra uno de los pasos del desarrollo para encontrar una fórmula para halla la suma de los enésimos primeros términos de las progresiones geométricas. — Clic para ampliar

Solo queda despejar S en la expresión que nos ha dado como resultado de la suma y tenemos la fórmula que queríamos. La tienes en el siguiente apartado.

"El estudio de las matemáticas, como el Nilo, se inicia en la pequeñez pero termina en la magnificencia" - Charles Caleb Colton - Frase 5 para ilustrar el artículo sobre progresiones geométricas — Disfruta de más frases como esta aquí

4.1.2. Fórmula

La siguiente fórmula nos permite calcular la suma de los enésimos primeros términos de una progresión geométrica en función de a₁, r y a_n.

$\boxed{S_{n}=\frac{r\cdot a_{n}-a_{1}}{r-1}}$

4.2. Fórmula para S en función de a₁ y r

4.2.1. Desarrollo

La fórmula anterior podemos simplificarla. Solo tenemos que recordar que el término general (a_n) podíamos expresarlo en función de a₁ y r. Recordemos la expresión.

$a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}$

Así que sustituimos a₁ ∙ r^n-1 (a_n) en la fórmula de la suma que acabamos de ver.

$S_{n}=\frac{r\cdot a_{1}\cdot r^{n-1}-a_{1}}{r-1}$

Operamos con las potencias de r.

$S_{n}=\frac{a_{1}\cdot r^{n}-a_{1}}{r-1}$

Sólo nos queda sacar factor común y nos queda la fórmula que ofrecemos en el siguiente apartado.

4.2.2. Fórmula

$\boxed{S_{n}=\frac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}}$

4.3. Suma de los términos cuando |r| mayor que 1

4.3.1. Desarrollo

Algunas progresiones geométricas tienen una razón cuyo valor está en -1 y 1. En este caso, lo que se calcula es la suma de todos sus términos. En las siguientes líneas mostraremos la manera de hacerlo.

Recordemos la fórmula del apartado anterior.

$S_{n}=\frac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}$

Si es r es mayor que -1 y menor que 1, conforme va aumentando el número de términos (n) que tomamos en la suma, el valor de rⁿ es menor. De esta forma, podemos decir que cuando n tiende a infinito rⁿ se convierte prácticamente en 0. Así, tenemos que:

rⁿ-1 sería prácticamente igual a -1.
r-1 = -(1-r).

Sustituimos en la fórmula general y operamos.

$\begin{align*}S_{n}&=\frac{a_1\cdot(-1)}{-(1-r)}\\&=\frac{-a_{1}}{-(1-r)}\end{align*}$

Simplificamos y nos queda la fórmula que tenemos en el siguiente apartado.

4.3.2. Fórmula

$\boxed{S_{n}=\frac{a_{1}}{1-r}}$

"Dios usó bellas matemáticas para crear el mundo" - Paul Dirac - Frase 6 para ilustrar el artículo sobre progresiones geométricas — Disfruta de más frases como esta aquí

6. Formulas esenciales

A lo largo de este artículo hemos visto 5 fórmulas que pueden usarse con las progresiones geométricas. Sin embargo, lo importante no es aprenderse de memoria todas, sino comprender la manera en la que las hemos ido construyendo. Sí es necesario, en cambio, que recordemos las tres que citamos a continuación. Son las que más se usan, y así evitamos tener que acometer sus desarrollos cada vez que las necesitemos.

6. 1. Término general de las progresiones geométricas

$\boxed{a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}}$

6.2. Suma de los términos de las progresiones geométricas

$\boxed{S_{n}=\frac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}}$

6.3 Suma de los términos cuando |r| mayor que 1

$\boxed{S_{n}=\frac{a_{1}}{1-r}}$

Bibliografía

De la Prida, C., Gaztelu, A. M., González García, A., Machín, P., Pérez Saavedra, C., & Sánchez Figueroa, D. (2015). Matemáticas 3 ESO. Enseñanzas académicas. Serie Resuelve. Poryecto saber Hacer (1.^a ed.). Santillana Educación, S.L.

Moya, P. (2014). Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 3^o B de ESO. Madrid: Libros Marea Verde.

Vizmanos, J. R., & Anzola, M. (1991). Algoritmo 1. Matemáticas BUP 1. Madrid: Ediciones SM.

1. Introducción

2. Definición y propiedades

2.1. Definición de progresiones geométricas

2.2. Propiedades de las progresiones geométricas

3. Término general

3.1. Fórmula del término general de las progresiones geométricas

3.1.1. Desarrollo

3.1.2. Fórmula

3.2. Generalización para an en función de ak

3.2.1. Desarrollo

3.2.2. Fórmula

4. Suma de los términos

4.1. Fórmula de la suma de los términos de las progresiones geométricas

4.1.1. Desarrollo

4.1.2. Fórmula

4.2. Fórmula para S en función de a1 y r

4.2.1. Desarrollo

4.2.2. Fórmula

4.3. Suma de los términos cuando |r| mayor que 1

4.3.1. Desarrollo

4.3.2. Fórmula

6. Formulas esenciales

6. 1. Término general de las progresiones geométricas

6.2. Suma de los términos de las progresiones geométricas

6.3 Suma de los términos cuando |r| mayor que 1

Bibliografía

3.2. Generalización para a_n en función de a_k

4.2. Fórmula para S en función de a₁ y r