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Progresiones aritméticas

Progresiones aritméticas

Redacción ·

Índice

1. Introducción

Las progresiones aritméticas apenas tienen aplicación directa en la vida cotidiana (a diferencia de lo que ocurre con las progresiones geométricas), pero son muy importantes en la resolución de problemas matemáticos.

Por ejemplo, gracias al estudio de las progresiones aritméticas podemos resolver con facilidad el famoso problema que, supuestamente, plantearon a Gauss el primer día que asistió a la clase de Aritmética, cuando este no contaba todavía los diez años. Lo tenemos justo debajo.

Ejemplo 1. ¿Cuánto suman los números del 1 al 100?

Cuenta la historia que el jovencísimo matemático dio la respuesta mucho antes que cualquiera de sus compañeros, bastante mayores que él. Pues observó que los números situados a la misma distancia de los extremos siempre sumaban 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 +98…). De esta forma, solo había que multiplicar dicha cantidad por 50, que es el número de sumas posibles, para hallar el resultado (5050). Más adelante desarrollaremos el planteamiento de este problema al detalle.

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Como veremos luego, Gauss, de forma consciente o no, aplicó una de las propiedades de las progresiones aritméticas: “la suma de dos términos equidistantes de los extremos es constante”.

 

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2. Definición y propiedades

2.1. Definición de progresiones aritméticas

Las progresiones aritméticas son sucesiones recurrentes en las que cada término (menos el primero) se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia o diferencia común, que representaremos con la letra d. En la siguiente ilustración se muestra gráficamente lo anterior.

Imagen que muestra la forma en la que se relacionan los términos de las progresiones aritméticas y la diferencia.
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Veamos los siguientes ejemplos de progresiones aritméticas.

◊ -11,-8,-5,-2,1,4,7,10…

◊ 1,4,7,10,13,16,19,22…

◊ 42,39,36,33,30,27,24,21…

◊ \frac{1}{2},\frac{5}{8},\frac{3}{4},\frac{7}{8},1,\frac{9}{8},\frac{5}{4},\frac{11}{8}...

◊ \frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{4},\sqrt{2},\frac{5\sqrt{2}}{4},\frac{3\sqrt{2}}{2}...

Las dos primeras son sucesiones de números enteros con la misma regla de formación: “cada término se obtiene sumando al anterior 3”. Es decir, son progresiones aritméticas con diferencia 3. En la siguiente d es -3. Si te apetece, averigua las diferencias de las dos últimas sucesiones.

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2.2. Propiedades de las progresiones aritméticas

Ayudándonos de la definición anterior podemos describir dos propiedades que cumplen todas las progresiones aritméticas, que nos servirán luego en la resolución de problemas.

P1: La diferencia entre cualquier término y su anterior es constante.

    \begin{align*} a_{2}-a_{1} &= a_{3}-a_{2}\\ &=a_{4}+a_{3} \\ &= ...\\ &=d\end{align*}

P2: La suma de dos términos cualesquiera, equidistantes de los términos extremos, es constante e igual a la suma de dichos extremos.

    \begin{align*} a_{2}+a_{n-1} &= a_{3}+a_{n-2}\\ &=a_{4}+a_{n-3} \\ &= ...\\ &=a_{1}+a_{n} \end{align*}

La primera responde a algo que ya habíamos apuntado en la definición: “cada término se obtiene sumando al anterior un número fijo”. Es otra forma de enunciar lo mismo.

La segunda propiedad requiere observar que cualquier término de una progresión aritmética puede expresarse en función de otro al que restamos o sumamos la diferencia o un múltiplo de esta. Así, tenemos que:

a2 = a1 + d
an-1 = an – d
a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d
an-2 = an-1 – d = an – d – d = an – 2d
a4 = a3 + d = a2 + d + d = a1 + d + d + d = a1 + 3d
an-3 = an-2 – d = an-1 – d – d = an – d – d – d = an – 3d

 

Si, en la igualdad que expresa la segunda propiedad (P2), sustituimos lo resaltado en rojo por cada término correspondiente (a2 por a1 + d, an-1 por an – d, etc. ), dicha igualdad quedaría así:

    \begin{align*} a_{1}+d+a_{n}-d & = a_{1}+2d+a_{n}-2d\\ & =a_{1}+3d+a_{n}-3d \\ & = ...\\ & =a_{1}+a_{n} \end{align*}

Pero, como vemos, en cada uno de los miembros de la igualdad se anulan los términos con d, de forma que lo que nos queda es:

    \begin{align*}a_{1}+a_{n}&=a_{1}+a_{n}\\&=a_{1}+a_{n}\\&=...\\&=a_{1}+a_{n}\end{align*}

3. Término general

3.1. Fórmula del término general de las progresiones aritméticas

3.1.1. Desarrollo

Mediante la definición ofrecida en el apartado 2 podemos hallar cualquier término conocidos el primero (a1) y la diferencia (d) de una progresión aritmética. Sin embargo, cuando el valor de n es elevado esto resultaría un proceso lento y tedioso. Por ejemplo, imagina que quisiéramos obtener el valor del término que ocupa el lugar 5000 (a5000) en una progresión aritmética con primer término 8 y diferencia 7.

Por eso vamos a encontrar una expresión que nos permita calcular cualquier término de una progresión aritmética sabiendo a1 y d. Para hacerlo nos ayudaremos de la progresión aritmética que antes hemos puesto de ejemplo y de la expresión que representa en general cualquier sucesión. Recordémoslas:

• 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, …

• a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, …

Tabla en la que se muestra el desarrollo usado para dar con la fórmula del término general de las progresiones aritméticas.
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Puede observarse que, en el ejemplo, la expresión resultante es una simplificación de la general. Y ya que hemos encontrado la expresión matemática que buscábamos solo nos queda completarla con algunas aclaraciones.

3.1.2. Fórmula

El término general (an) de una progresión aritmética de primer término a1 y diferencia d viene dado por la siguiente fórmula:

    \[\boxed{a_{n}=a_{1}+\left ( n-1 \right )\cdot d}\]

Donde n es un número natural y an, a1 y d número reales.

3.2. Generalización para an en función de ak

3.2.1. Desarrollo

En la fórmula anterior el término general viene dado en función de a1. Gracias a esta, como ya hemos dicho, podremos calcular el valor del término que ocupa cualquier lugar si conocemos a1 y d. Sin embargo, ¿qué ocurre si el término que conocemos es otro? Hay varias formas de responder a esta pregunta, pero nos centraremos en dos.

La primera no es formal, aunque es matemáticamente correcta, fácil de comprender y de recordar. Sin embargo, tiene como inconveniente el hecho de que podemos cometer errores al asignar el valor de n en la fórmula (lo veremos más abajo). Dicho esto, usemos el siguiente ejercicio a modo de ejemplo.

Ejemplo 2. Encuentra el término vigésimo segundo de una progresión aritmética con diferencia 8 y décimo término 108.

Como no tenemos a1, para aplicar la fórmula podemos considerar que los términos desde a10 (108) hasta a22 forman parte de una nueva sucesión en la que la diferencia es la misma (8) y el primer término es 108 (a1).

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, 108, a11, a12, a13, a14, a15, a16, a17, a18, a19, a20, a21, a22, …

Pero, ¿cuál es el valor de n? Aquí es donde, por descuido, podemos cometer errores. Si para hallarlo únicamente restamos 22 – 10 = 12, estaremos olvidándonos del primer término. Como podrás comprobar los términos resaltados son 13. Es decir, debemos restar y añadir uno más. Por consiguiente, el término décimo tercero de nuestra progresión será el vigésimo segundo de la original. Ya solo nos queda sustituir los valores en la fórmula.

    \begin{align*}a_{n} & =a_{1}+(n-1)\cdot d\Rightarrow\\a_{13} & =108+(13-1)\cdot 8 = 204\end{align*}

El término vigésimo segundo es 204.

"Las matemáticas son un lugar donde puedes hacer cosas que no puedes hacer en el mundo real" - Marcus du Sautoy - Frase 3 para ilustrar el artículo sobre progresiones aritméticas
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La segunda opción, la formal, es la más recomendable. Aunque nos obliga a recordar otra fórmula, esta es tan parecida a la anterior que no nos resultará difícil hacerlo. Además, si hemos comprendido correctamente el desarrollo que hicimos para encontrar la otra, es fácil llegar a la conclusión de que la primera es la aplicación en un caso particular de la que veremos a continuación. Prosigamos.

Sean an y ak dos términos de una progresión aritmética con diferencia d, que cumplen que n > k. Usando nuestra fórmula podemos expresarlos como el siguiente sistema de ecuaciones:

    \[\left.\begin{matrix} a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d \\ a_{k}= a_{1}+(k-1)\cdot d \end{matrix}\right\}\]

Si despejamos a1 en dichas ecuaciones tenemos que:

    \begin{align*}a_{1}&=a_{n}-dn-d\\a_{1}&=a_{k}-dk-d \end{align*}

Al igualar nos quedará una ecuación:

    \[a_{n}-dn-d=a{k}-dk-d\]

Luego despejamos an.

    \begin{align*}a_{n} & =a_{k}+dn-dk+d-d\Rightarrow\\a_{n} & =a_{k}+dn-dk\end{align*}

Para finalizar, sacamos factor común. Hemos conseguido una fórmula que nos permite calcular an conociendo la diferencia (d) y cualquier término de la progresión. A diferencia de la otra, que expresaba el término general en función del primer término (a1), esta lo expresa en función de cualquier otro término de la sucesión (ak), siempre que n > k, claro está. La tienes en el siguiente subapartado.

3.2.2. Fórmula

    \[\boxed{a_{n}=a_{k}+\left ( n-k \right )\cdot d} \]

Donde n y k son números naturales, tales que n > k, y an, ak y d números reales.

La fórmula es casi idéntica a la otra. Nos servirá para hallar cualquier término, también en el caso de que conociéramos a1 (solo tendríamos que sustituir 1 por k y tendríamos la fórmula original).

Retrato de Carl Friedrich Gauss, por Christian Albrecht Jensen que sirve como cuarta ilustración en el artículo sobre progresiones aritméticas
Retrato de Carl Friedrich Gauss, por Christian Albrecht Jensen

4. Suma de los términos

4.1. Fórmula de la suma de los términos de las progresiones aritméticas

4.1.1. Desarrollo

Cuando decimos suma de los términos de una progresión aritmética nos referimos, en realidad, a la suma de una serie de términos consecutivos. También suele hablarse de la suma de los enésimos primeros términos de una progresión aritmética. Es decir, la suma de todos los términos que van desde a1 a an, ambos inclusive. Pero como vimos en el apartado anterior, podemos trabajar con una sección de una progresión aritmética como si fuera una nueva sucesión con las mismas propiedades. Por lo que también es posible sumar los términos consecutivos que van desde ak a an, siendo n > k. Luego veremos cómo. Ahora retomemos el famoso problema que le “propusieron” a Gauss cuando niño.

Ejemplo 1. ¿Cuánto suman los números del 1 al 100?

Nos piden que hallemos la suma de 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100. Según algunas versiones, Gauss realizó un planteamiento parecido al siguiente.

Sea S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100, es posible ordenar los sumandos de dicha igualdad de mayor a menor y luego sumar ambas igualdades.

 

Arreglo 1 del problema de Gauss usado como ejemplo en el artículo sobre progresiones aritméticas.
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Las sumas del lado derecho de la igualdad resultante se pueden expresar como producto, y despejando S nos queda:

    \[S=\frac{100\cdot 101}{2}=5050\]

Para conseguir una fórmula que nos permita sumar los términos de una progresión aritmética podemos aprovechar el planteamiento anterior.

Arreglo 2 del problema de Gauss usado como ejemplo en el artículo sobre progresiones aritméticas.
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De esta forma, siendo S = a1 + a2 + a3 +  … + an-2 + an-1 + an, la suma de los enésimos primeros términos de una progresión aritmética, al igual que antes, podemos ordenar dichos sumandos de mayor a menor y sumar ambas igualdades.

Aplicando la segunda propiedad de las progresiones aritméticas, que vimos en el apartado Definición, todas esas sumas que aparecen en la tercera igualdad son la suma de los extremos, a1 + an.

2S = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)

Al igual que hicimos en el problema de ejemplo, las sumas del lado derecho pueden ser expresadas como un producto; en este caso, en lugar de 100, tenemos n sumandos. Y despejando S nos queda la fórmula que buscábamos. La tienes en el siguiente subapartado.

4.1.2. Fórmula

La siguiente fórmula nos permite calcular la suma de los enésimos primeros términos en función de a1 y an.

    \[\boxed{S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}}\]

4.2. Fórmula para S en función de a1 y d

4.2.1. Desarrollo

Como an = a1 + (n – 1) ∙ d, podemos sustituir la expresión anterior por an en la fórmula que acabamos de ver y, operando, llegamos a esta otra en la que no necesitamos conocer y, operando, llegamos a otra en la que no necesitamos conocer an. Observemos cómo.

    \begin{align*}S_{n} &=\frac{\left[a_{1}+a_{1}+(n-1)\cdot d\right ]\cdot n}{2}\\&=\frac{\left[2a_{1}+(n-1)\cdot d\right]\cdot n}{2}\\&=\frac{2a_{1}\cdot n+(n-1)\cdot d\cdot n}{2}\\&=\frac{2a_{1}\cdot n}{2}+\frac{n\cdot(n-1)\cdot d}{2} \end{align*}

Solo queda simplificar la primera fracción y conseguimos la fórmula que te ofrecemos en el siguiente subapartado.

4.2.2. Fórmula

    \[\boxed{S_{n}=a_{1}\cdot n+\frac{n\cdot(n-1)\cdot d}{2}}\]

 

"Las matemáticas tienen belleza y romance. El mundo de las matemáticas no es un lugar aburrido en el que estar. Es un lugar extraordinario; merece la pena pasar el tiempo allí" - Marcus du Sautoy - Frase 4 para ilustrar el artículo sobre progresiones aritméticas
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4.3. Generalización para S en función de ak y an

4.3.1. Desarrollo

No es algo que suela pedirse, pero en el caso de que no necesitemos la suma de los primeros enésimos términos sino la de los términos de una determinada sección de una progresión aritmética, bastará con razonar de la misma manera que lo hicimos en el tercer subapartado del apartado 3. Veámoslo.

Sean an y ak dos términos de una progresión aritmética, tales que n > k, la suma de los términos que van desde ak a an, ambos inclusive, puede calcularse haciendo las modificaciones oportunas en la fórmula de la suma de los primeros enésimos términos. Recordémosla.

    \[S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}\]

Sustituimos a1 por ak, porque ahora los extremos serán ak y an. Y como n representa el número de términos desde a1 a an, ahora tendremos que expresar los términos de otra forma, porque nosotros queremos la suma de los términos que van desde ak a an, estos incluidos. Como vimos el número de términos de la sección de una determinada sucesión podíamos calcularlo restando al mayor número de orden el menor y sumando 1. Por tanto, nuestro número de términos será n – k +1. Así, la fórmula nos queda como vemos en el siguiente subapartado.

4.3.2. Fórmula

    \[\boxed{S_{n}=\frac{(a_{k}+a_{n})\cdot(n-k+1)}{2}}\]

5. Formulas esenciales

A lo largo de este artículo hemos visto 5 fórmulas. Sin embargo, lo importante no es aprenderse de memoria todas, sino comprender la manera en la que las hemos construido. Sí es necesario, en cambio, que recordemos las dos que citamos a continuación. Porque son las que más se usan, y así evitamos tener que acometer sus desarrollos cada vez que las necesitemos.

5.1. Término general de las progresiones aritméticas

    \[\boxed{a_{n}=a_{1}+\left ( n-1 \right )\cdot d}\]

5.2. Suma de los términos de las progresiones aritméticas

    \[\boxed{S_{n}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right)\cdot n}{2}}\]

6. Bilbliografía

Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, J. W. (2012). Matemáticas: Un enfoque de resolución de problemas para maestros de educación básica (Vol. 1). Guadalupe: López Mateo Editores.

De la Prida, C., Gaztelu, A. M., González García, A., Machín, P., Pérez Saavedra, C., & Sánchez Figueroa, D. (2015). Matemáticas 3 ESO. Enseñanzas académicas. Serie Resuelve. Poryecto saber Hacer (1.a ed.). Santillana Educación, S.L.

Moya, P. (2014). Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 3o B de ESO. Madrid: Libros Marea Verde.

Vizmanos, J. R., & Anzola, M. (1991). Algoritmo 1. Matemáticas BUP 1. Madrid: Ediciones SM.