Índice
1. Introducción
En un sentido estricto, un número figurado es la asociación de un número natural con su representación figurativa mediante puntos. Los primeros en estudiarlos fueron los Pitagóricos. Gracias a esta original forma de trabajar con los números hicieron importantes avances matemáticos. Luego, también fueron investigados por matemáticos tan importantes como Euler o Gauss. Nosotros nos vamos a centrar en las sucesiones formadas por números figurados.
Para no tener que usar un nombre tan largo, de aquí en adelante nos referiremos a ellas simplemente como números figurados.
2. Definición
Normalmente se entiende por números figurados aquellos que tienen correspondencia con figuras construidas a base de puntos, sin embargo, nosotros utilizaremos un enfoque algo más amplio.
Así, consideramos que los números figurados son cualquier sucesión en la que el valor de cada término pueda representarse mediante arreglos de puntos, palillos, polígonos o similares.
3. Tipos de números figurados
Aunque desde el enfoque anterior podríamos construir una lista muy amplia, nos vamos ocupar únicamente de los tipos más conocidos: números triangulares, números cuadrados y números pentagonales.
3.1. Arreglos con puntos
3.1.1. Números triangulares
3.1.1.1. Definición
Los números triangulares son unos de los números figurados más conocidos. Numéricamente se escriben como 1, 3, 6, 10, 15, … No es una progresión geométrica, pues al dividir cada término por el anterior no obtenemos una constante. Veamos.
, 
, 
, 
Tampoco se trata de una progresión aritmética, ya que las sucesivas restas no arrojan un resultado fijo.
3 – 1 = 2; 6 – 3 = 3; 10 – 6 = 4; 15 – 10 = 4…
E, igualmente, el valor de cada término no pude hallarse sumando los dos anteriores.
1 + 3 = 4; 3 + 6 = 9; 6 + 10 = 16; 10 + 15 = 25, etc.
Se trata, como podemos ver, de de otro tipo de sucesión. Esto mismo ocurre con todos los números figurados. Observemos la representación de los números triangulares.
3.1.1.2. Regla de formación
La regla de formación de este número figurado es «cada término se obtiene sumando al anterior la cantidad correspondiente a su número de orden». También podemos encontrar un patrón en la sucesión formada por las diferencias.
Gracias a este detalle que acabamos de señalar, podemos construir una fórmula que permita calcular el término enésimo de los números triangulares. En la siguiente tabla lo veremos con más claridad.
El segundo término se obtiene sumando dos al primero, el tercero sumando tres al segundo, el cuarto cuatro al quinto, etc. Siguiendo este patrón, el décimo término será:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Es decir, la suma de los diez primeros números naturales. Por tanto, el enésimo término de la sucesión de números triangulares lo podemos hallar con la fórmula que conocemos de la suma de los términos de una progresión aritmética.
![\[S=\left ( \frac{a_{1}+a_{n}}{2}\right )\cdot n\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-209e836a258238ebe38932857e705c64_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aun queda simplificar la fórmula anterior. Ya que a1 es igual a 1 y an igual a n, podemos operar y dejarla como sigue.
3.1.1.3. Término general
![\[\boxed{a_{n}=\left ( \frac{n^{2}+n}{2}\right )}\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8234c1bbd78517ef3f3c96ca9b84504b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
IMPORTANTE: buscar un patrón en las diferencias de los términos de algunas sucesiones no recurrentes es una estrategia que pude servirnos para resolver algunos problemas. En ocasiones, como ocurre con los números triangulares, este patrón será patente en las primeras diferencias, sin embargo, en otras, tendremos que buscarlo en las «diferencias de las diferencias». Es decir, nuestro objetivo es encontrar una sucisión en la que los términos estén relacionados por una diferencia constante, para así poder aplicar los conocimientos que tenemos sobre progresiones aritméticas.
3.1.2. Números cuadrados
3.1.2.1. Definición
Al igual que los números triangulares, los números cuadrados son un tipo de números figurados muy conocidos. Numéricamente, la sucesión de los números cuadrados puede escribirse de dos formas, como simples números y como una serie de potencias:
1, 4, 9, 16… o 1, 22, 32, 42, …
Abajo tienes la representación gráfica.
3.1.2.2. Regla de formación
Los números cuadrados tienen una regla de formación bastante sencilla, ¿verdad?, que es «cada término se obtienen elevando al cuadrado su número de orden».
3.1.2.3. Término general
Igualmente, es fácil dar con su término general, solo tenemos que expresar algebraicamente su regla de formación:
![\[\boxed{a_{n}=n^{2}}\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1b455c5042551e670ba952e6fc9735d5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3.1.3. Números pentagonales
3.1.3.1. Definición
Los números pentagonales son el tercer y último tipo de números figurados de este apartado titulado «Arreglos con puntos» que veremos con atención. Los primeros números de esta sucesión son:
1, 5, 12, 22, 35, …
A continuación, tienes su representación gráfica.
Los números pentagonales tienen como particularidad que pueden expresarse como suma de un número triangular y un número cuadrado. Por ejemplo, el segundo número pentagonal es la suma del primer número triangular y del segundo número cuadrado. Así, tenemos que: 5 = 1 + 4; 12 = 3 + 9; 22 = 16 + 6; 35 = 25 + 10; etc.
3.1.3.3. Término general
El término general de un número pentagonal viene dado por la siguiente fórmula:
![\[\boxed{a_{n}=\frac{n\left ( 3n-1 \right )}{2}}\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9de5d310b66562beb125597ae6104860_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3.1.4. Otros arreglos con puntos
Además de los anteriores, existen otros números figurados cuya representación se realiza con puntos. Aquí tienes algunos ejemplos: números hexagonales, estrellados, tetraédricos, etc.
3.2. Arreglos con palillos
Los números figurados anteriores son los más comunes pero también podemos encontrarnos con otros tipos de arreglos que se corresponden con sucesiones numéricas. Veamos algunos ejemplos.
En el arreglo anterior el número de palillos que hay en cada figura se corresponde con un número. Estos números forman una progresión aritmética de diferencia 5.
Te animamos a que encuentres el patrón en el arreglo anterior. ¿Cuántos palillos habrá en a100? ¿Serías capaz de dar con la fórmula del término general de esta sucesión?
4. Bibliografía
Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, J. W. (2012). Matemáticas: Un enfoque de resolución de problemas para maestros de educación básica (Vol. 1). Guadalupe: López Mateo Editores.
Miller, C. D., Heeren, V. E., & Hornsby, E. J. (2013). Matemática: razonamiento y aplicaciones. (A. Enríquez, Trad.). México D.F. (México): Pearson Educación.