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Números figurados

Números figurados

Redacción · 26/09/2017

Índice

1. Introducción

En un sentido estricto, un número figurado es la asociación de un número natural con su representación figurativa mediante puntos. Los primeros en estudiarlos fueron los Pitagóricos. Gracias a esta original forma de trabajar con los números hicieron importantes avances matemáticos. Luego, también fueron investigados por matemáticos tan importantes como Euler o Gauss. Nosotros nos vamos a centrar en las sucesiones formadas por números figurados.

"Sin matemáticas, no hay nada que puedas hacer. Todo a tu alrededor es matemáticas. Todo a tu alrededor son números" - Shakuntala Devi - Frase 1, que ilustra el artículo sobre números figurados.
Disfruta de más frases como esta aquí

Para no tener que usar un nombre tan largo, de aquí en adelante nos referiremos a ellas simplemente como números figurados.

2. Definición

Normalmente se entiende por números figurados aquellos que tienen correspondencia con figuras construidas a base de puntos, sin embargo, nosotros utilizaremos un enfoque algo más amplio.

Así, consideramos que los números figurados son cualquier sucesión en la que el valor de cada término pueda representarse mediante arreglos de puntos, palillos, polígonos o similares.

3. Tipos de números figurados

Aunque desde el enfoque anterior podríamos construir una lista muy amplia, nos vamos ocupar únicamente de los tipos más conocidos: números triangulares, números cuadrados y números pentagonales.

3.1. Arreglos con puntos

3.1.1. Números triangulares

3.1.1.1. Definición

Los números triangulares son unos de los números figurados más conocidos. Numéricamente se escriben como 1, 3, 6, 10, 15, … No es una progresión geométrica, pues al dividir cada término por el anterior no obtenemos una constante. Veamos.

\dfrac{3}{1}=3, \dfrac{6}{3}=2, \dfrac{10}{6}=1{,}\bar{6}, \dfrac{15}{10}=1{,}5

Tampoco se trata de una progresión aritmética, ya que las sucesivas restas no arrojan un resultado fijo.

3 – 1 = 2; 6 – 3 = 3; 10 – 6 = 4; 15 – 10 = 4…

E, igualmente, el valor de cada término no pude hallarse sumando los dos anteriores.

1 + 3 = 4; 3 + 6 = 9; 6 + 10 = 16; 10 + 15 = 25, etc.

Se trata, como podemos ver, de de otro tipo de sucesión. Esto mismo ocurre con todos los números figurados. Observemos la representación de los números triangulares.

Imagen que muestra los primeros seis números triangulares, que es uno de los tipos de números figurados que se estudian en este artículo.
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3.1.1.2. Regla de formación
Imagen que muestra la sucesión formada por las diferencias entre los términos de los números triangulares, que son uno de los tipos de números figurados que se estudian en este artículo.
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La regla de formación de este número figurado es «cada término se obtiene sumando al anterior la cantidad correspondiente a su número de orden». También podemos encontrar un patrón en la sucesión formada por las diferencias.

Gracias a este detalle que acabamos de señalar, podemos construir una fórmula que permita calcular el término enésimo de los números triangulares. En la siguiente tabla lo veremos con más claridad.

Tabla donde se observa la manera en la que se va construyendo la sucesión de números triangulares (números figurados).
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El segundo término se obtiene sumando dos al primero, el tercero sumando tres al segundo, el cuarto cuatro al quinto, etc. Siguiendo este patrón, el décimo término será:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Es decir, la suma de los diez primeros números naturales. Por tanto, el enésimo término de la sucesión de números triangulares lo podemos hallar con la fórmula que conocemos de la suma de los términos de una progresión aritmética.

    \[S=\left ( \frac{a_{1}+a_{n}}{2}\right )\cdot n\]

Aun queda simplificar la fórmula anterior. Ya que a1 es igual a 1 y an igual a n, podemos operar y dejarla como sigue.

3.1.1.3. Término general

    \[\boxed{a_{n}=\left ( \frac{n^{2}+n}{2}\right )}\]


IMPORTANTE: buscar un patrón en las diferencias de los términos de algunas sucesiones no recurrentes es una estrategia que pude servirnos para resolver algunos problemas. En ocasiones, como ocurre con los números triangulares, este patrón será patente en las primeras diferencias, sin embargo, en otras, tendremos que buscarlo en las «diferencias de las diferencias». Es decir, nuestro objetivo es encontrar una sucisión en la que los términos estén relacionados por una diferencia constante, para así poder aplicar los conocimientos que tenemos sobre progresiones aritméticas.


3.1.2. Números cuadrados

3.1.2.1. Definición

Al igual que los números triangulares, los números cuadrados son un tipo de números figurados muy conocidos. Numéricamente, la sucesión de los números cuadrados puede escribirse de dos formas, como simples números y como una serie de potencias:

1, 4, 9, 16… o 1, 22, 32, 42, …

Abajo tienes la representación gráfica.

Imagen que muestra los primeros seis números cuadrados, que es uno de los tipos de números figurados que se estudian en este artículo.
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3.1.2.2. Regla de formación

Los números cuadrados tienen una regla de formación bastante sencilla, ¿verdad?, que es «cada término se obtienen elevando al cuadrado su número de orden».

3.1.2.3. Término general

Igualmente, es fácil dar con su término general, solo tenemos que expresar algebraicamente su regla de formación:

    \[\boxed{a_{n}=n^{2}}\]

3.1.3. Números pentagonales

3.1.3.1. Definición

Los números pentagonales son el tercer y último tipo de números figurados de este apartado titulado «Arreglos con puntos» que veremos con atención. Los primeros números de esta sucesión son:

1, 5, 12, 22, 35, …

A continuación, tienes su representación gráfica.

Imagen que muestra los primeros cinco números pentagonales, que es uno de los tipos de números figurados que se estudian en este artículo.
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Los números pentagonales tienen como particularidad que pueden expresarse como suma de un número triangular y un número cuadrado. Por ejemplo, el segundo número pentagonal es la suma del primer número triangular y del segundo número cuadrado. Así, tenemos que: 5 = 1 + 4; 12 = 3 + 9; 22 = 16 + 6; 35 = 25 + 10; etc.

3.1.3.3. Término general

El término general de un número pentagonal viene dado por la siguiente fórmula:

    \[\boxed{a_{n}=\frac{n\left ( 3n-1 \right )}{2}}\]

3.1.4. Otros arreglos con puntos

Además de los anteriores, existen otros números figurados cuya representación se realiza con puntos. Aquí tienes algunos ejemplos: números hexagonales, estrellados, tetraédricos, etc.

3.2. Arreglos con palillos

Los números figurados anteriores son los más comunes pero también podemos encontrarnos con otros tipos de arreglos que se corresponden con sucesiones numéricas. Veamos algunos ejemplos.

Imagen que muestra un arreglo de palillos, que es uno de los ejemplos de otros tipos de arreglos que se ofrecen en el artículo sobre números figurados.
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En el arreglo anterior el número de palillos que hay en cada figura se corresponde con un número. Estos números forman una progresión aritmética de diferencia 5.

Imagen que muestra otro arreglo de palillos, que es uno de los ejemplos de otros tipos de arreglos que se ofrecen en el artículo sobre números figurados.
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Te animamos a que encuentres el patrón en el arreglo anterior. ¿Cuántos palillos habrá en a100? ¿Serías capaz de dar con la fórmula del término general de esta sucesión?


4. Bibliografía

Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, J. W. (2012). Matemáticas: Un enfoque de resolución de problemas para maestros de educación básica (Vol. 1). Guadalupe: López Mateo Editores.

Miller, C. D., Heeren, V. E., & Hornsby, E. J. (2013). Matemática: razonamiento y aplicaciones. (A. Enríquez, Trad.). México D.F. (México): Pearson Educación.

Publicado en: Diccionarios, Matemáticas Etiquetado como: sucesiones

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