Índice
1. Generalidades sobre la sucesión de Fibonacci
1.1. La famosa sucesión de Fibonacci
¿Conoces la siguiente secuencia de números? Son los primeros términos de la sucesión de Fibonacci.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…
¿Te sonaban verdad? No me extraña, la sucesión de Fibonacci está por todas partes y es, sin duda, una de las más famosas de todas las que se conocen. Incluso, puede decirse que tiene cierto glamur. Ha aparecido en varias películas y series. Pi, fe en el Caos, El código Da Vinci, Los crímenes de Oxford o Mr. Magorium y su tienda mágica son algunas muestras de su paso por la gran pantalla, y Frige, Mentes criminales o Abducidos, ejemplos de sus cameos televisivos. Por supuesto, también es una celebridad en Youtube, donde hay miles de vídeos dedicados a ella.
1. 2. Historia
Afortunadamente, a diferencia de lo que ocurre con otras celebridades, la fama de la sucesión de Fibonacci no es fruto de una moda pasajera. Su notoriedad está más que justificada, pues los “medios de comunicación” llevan miles de años siguiéndola.
El número áureo, que como veremos luego tiene una estrecha relación con esta sucesión, ya era conocido por Egipcios, Asirios y Babilonios, aunque el primero en hacer un estudio formal del mismo fue Euclides, hacia el siglo III a. C. Y los primeros vestigios de la sucesión (como tal) aparecen en la India, a lo largo del primer milenio de la era común, donde los matemáticos hindúes la estudian en sus investigaciones sobre patrones rítmicos.
En Europa no se conoció hasta algunos siglos después, cuando el matemático Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, publica su Liber Abaci (1202), donde es presentada como solución al siguiente problema sobre la cría de conejos:
Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial, teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir.
Además de la sucesión de Fibonacci, el ilustre matemático de la Toscana introduce en occidente otros avances matemáticos tan importantes como el sistema de numeración indo-arábigo.
Después, con el paso de los siglos, fue estudiada por muchos otros matemáticos, como Kepler o Édouard Lucas. Este último es el responsable del descubrimiento de muchas de las propiedades de la sucesión de Fibonacci, de la fórmula para hallar su enésimo término y de bautizarla con el apodo en honor matemático italiano.
1.3. La sucesión de Fibonacci en la naturaleza, la ciencia y el arte
Ya sea directamente, o por su relación con el número áureo, la sucesión de Fibonacci está presente en múltiples actividades y facetas del mundo que nos rodea: en la naturaleza, la ciencia y el arte.
Por ejemplo, podemos encontrarla en las proporciones y estructura de muchos seres vivos o fenómenos naturales: nuestra fisonomía, las escamas de una piña, los girasoles, las hojas y las ramas, las conchas de moluscos, los huracanes, las galaxias, etc.
También se ha empleado conscientemente en actividades humanas como la ciencia o el arte:
• Tiene aplicaciones en las ciencias de la computación, en las matemáticas (obviamente) y en la teoría de juegos.
• Y aparece en las pirámides de Guiza, el Partenón, algunas obras pictóricas del renacimiento, la estructura formal de composiciones musicales…
2. Definición, regla de formación y término general
2.1. Definición
La sucesión de Fibonacci es un tipo de sucesión recurrente de números naturales, que, como vimos en el artículo dedicado a estas, son aquellas cuyos términos se obtienen a partir del anterior o anteriores. Recordemos que también pertenecían a esta clase de sucesiones las progresiones aritméticas y las geométricas.
Sus primeros términos son los siguientes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … (podemos encontrarla también iniciada con el 0).
A diferencia de lo que ocurría en otras sucesiones, los términos de esta sucesión suelen notarse con la mayúscula de la letra efe acompañada del subíndice que indica su número de orden: F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, etc.
2.2. Regla de formación
Observando con atención la secuencia de números anteriores, podremos caer en la cuenta de que todos sus términos, menos el primero y el segundo, se obtienen sumando los dos anteriores. De esta forma, tenemos que: 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3; 8 = 3 + 5; y, así, hasta “el infinito y más allá”.
2.3. Término general
En un sentido amplio, el término general de una sucesión no es más que la expresión matemática de la regla de formación. Siguiendo este enfoque, podemos representar, sin problemas, el término general de la sucesión de Fibonacci de forma recurrente. Veamos.
![\[\boxed{F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-03d446f1ee60c934721919077882d7a8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
A diferencia de lo que pasaba con las progresiones aritméticas y geométricas, el desarrollo de una fórmula que nos permita calcular sin problemas cualquier número de esta sucesión necesita de conocimientos matemáticos más avanzados que los tratados en este diccionario. Sin embargo, por si en algún momento necesitas usarla, más abajo tienes una de las fórmulas que hay para hacerlo, y aquí un enlace en el que te explican en sencillos pasos la manera de aplicarla.
![\[\boxed{F_{n}=\frac{\phi^{n}-\left ( 1-\phi \right )^{n}}{\sqrt{5}}}\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40dbbf8f487bc6876d793d97e5486b91_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3. La sucesión de Fibonacci y el número áureo
La relación entre la sucesión de Fibonacci y el número áureo fue descubierta Johannes Kepler, al que aludimos en el segundo apartado. Este matemático y astrónomo alemán observó que los cocientes resultantes al dividir cada uno de los términos por su anterior se iban aproximando al número áureo conforme mayores eran los valores de n. Lo vamos a ver a continuación.
El valor del número áureo es un número irracional representado por la siguiente expresión:
![\[\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1,6180339887498948...\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f1e40663439e420d2e4d64e04df2592_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ahora recordemos los primeros términos de nuestra sucesión:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …
Como dijimos, la relación la podemos encontrar al efectuar las sucesivas divisiones de cada término entre su anterior. En la siguiente tabla mostramos los resultados algunas de las primeras divisiones.
Como vemos, los diferentes cocientes se van aproximando al número áureo. Es decir, cuando n tiende a infinito, el cociente entre un término de la sucesión de Fibonacci y el anterior es el número áureo.
4. Sucesiones similares
La sucesión de Fibonacci no es la única sucesión recurrente en cuya regla de formación intervienen más de un término. De hecho, podemos construir fácilmente muchas sucesiones recurrentes parecidas. El límite solo está en nuestra imaginación. Veamos algunas (entre paréntesis tienes la regla de formación).
7, 7, 7, 21, 35, 63, … (cada uno de los términos, para valores de n mayores que 3, se obtiene sumando los tres anteriores).
1/4, 1/3, 7/12, 11/12, 3/2, 29/12, … (a partir de n = 3, los términos son la suma de los dos que le preceden).
2, 2, 22, 23, 25, 28, … (después del tercer término, todos son el producto de sus dos anteriores).
Y la sucesión que forman los exponentes del último ejemplo es…
5. Para saber más
¿Has descubierto en tu interior una repentina e incontrolable pasión por la sucesión de Fibonacci? Si es así, te recomendamos que veas los tres vídeos de más abajo. Los dos primeros son del programa de televisión Redes y el segundo del canal de youtube Derivando.
6. Bibliografía
MostrarBillstein, R., Libeskind, S., & Lott, J. W. (2012). Matemáticas: Un enfoque de resolución de problemas para maestros de educación básica (Vol. 1). Guadalupe: López Mateo Editores.
Ferrer, A. (2013). La espiral de Fibonacci. Quo (Ed. online).
Sabadell, M. A. (2014). La fórmula divina. Muy interesante (Ed. online).
Navarro, F. (2003). Sucesión de Fibonacci. En La enciclopedia (Vols. 1–20). Madrid: Salvat.
Vidal, C. (2014, febrero 11). La sucesión de Fibonacci y el número áureo. Hijos del átomo.
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