1. Definición de proporcionalidad inversa
La relación entre dos magnitudes es de proporcionalidad inversa o, lo que es lo mismo, decimos que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando las medidas de sus cantidades vienen dadas por una función del tipo y = k/x. Donde y es la medida de cualquier cantidad de la 2ª magnitud y x la correspondiente medida de la 1ª magnitud. K es la constante de proporcionalidad.
Así, una magnitud es inversamente proporcional a otra cuando cada medida de la segunda magnitud se obtiene multiplicando por un número la inversa de la medida correspondiente de la primera magnitud. Lo veremos con más claridad estudiando la siguiente tabla.
Te recomendamos leer nuestro artículo sobre proporcionalidad entre magnitudes.
Como se advierte, conforme van aumentando los valores de la primera magnitud (número de obreros) disminuyen las medidas de la segunda magnitud (tiempo). Sin embargo, en esta ocasión es más complicado ver el producto al que hacíamos referencia más arriba: «cada medida de la segunda magnitud se obtiene multiplicando por un número la inversa de la medida correspondiente de la primera».
Primero hallaremos la constante de proporcionalidad, para lo que basta con dar dos valores correspondientes (por ejemplo, 30 y 112) a x e y en la fórmula que vimos en la definición.
![\[y=\frac{k}{x}\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-51fcb2554a60f6a3a300aff76e38c698_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[30=\frac{k}{112}\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f6c0bff25aa43e7b68398222cd93658_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[k=30\cdot 112=3360\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-393a202e5ac3d553ebd4e53a62405ef2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ahora, teniendo la constante de proporcionalidad es sencillo observar que se trata de una relación de proporcionalidad inversa y notar lo que comentábamos.
![\[10=3360\cdot \frac{1}{336}\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1791bfa51613224b30c4023705e0b492_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3360:336=10
![\[20=3360\cdot \frac{1}{168}\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7be37e6e29095e96d946bca9bb19ee13_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3360:168=20
![\[30=3360\cdot \frac{1}{112}\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-34b286d96f73569a5a59d9913d929478_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3360:112=30
![\[40=3360\cdot \frac{1}{84}\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30c5211ff7f466272b3f767d3273ad7c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3360:84=40[adsense_hint]
2. Propiedades
2.1. Primera propiedad
El producto entre cualquier cantidad de la segunda magnitud y su correspondiente de la primera es constante. Es algo que, en cierto modo, ya deberíamos haber intuido durante la lectura del apartado anterior, cuando despejamos la constante de proporcionalidad (y ⋅ x = k). Retomemos la tabla con la que acabamos de trabajar.
Teniendo en cuenta esta propiedad vemos que:
El valor de los diferentes productos es siempre el mismo, es decir, es constante, la constante (k) de esta relación de proporcionalidad inversa que estamos estudiando.
k = 3360
2.2. Segunda propiedad
La razón de dos cantidades de la primera magnitud es igual a la inversa de la razón de las cantidades correspondientes de la segunda magnitud.
Comprobémoslo usando algunos valores de nuestra tabla.
2.3. Tercera propiedad
Al multiplicar o dividir por un número una cantidad de la primera magnitud la cantidad correspondiente de la segunda magnitud queda multiplicada o dividida por el inverso de ese mismo número. Así, si, por ejemplo, triplicamos la medida de la cantidad de la 1ª magnitud, la medida de la correspondiente cantidad de la 2ª magnitud se multiplicaría por 1/3, o, lo que es lo mismo, se dividiría por 3.
Hagamos algunas pruebas usando los valores de la tabla anterior y examinemos lo que ocurre.
![\[336\cdot \frac{1}{3}=112\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-647458d36a88d4cf51df34bc5425c30b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[168\cdot \frac{1}{2}=2\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9df6855f15b36633672d6d9d2d522503_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Hagamos lo propio con un valor que no esté en nuestra tabla. Por ejemplo, vamos a multiplicar por 5 la tercera medida de la magnitud obreros (30) y, por supuesto, multiplicaremos por 1/5 la tercera medida de la magnitud tiempo (112).
![\[\frac{1}{5}\cdot 112=\frac{112}{5}=22,4\]](https://significativa.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-48fa63382536850d46a6c803ec0a5972_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Según lo anterior, con una plantilla de 150 obreros terminaríamos la obra, aproximadamente, en 22 días (22,4 días). ¿Será verdad? Para comprobarlo, podemos aplicar la primera propiedad: «el producto entre cualquier cantidad de la segunda magnitud y su correspondiente de la primera es constante». De esta forma, si multiplicamos 22,4 por 150 nos tiene que dar 3360, que, recordemos, es la constante de proporcionalidad (k) de la relación entre obreros y días de trabajo necesarios para completar el edificio.
3. Bibliografía
Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, J. W. (2012). Matemáticas: Un enfoque de resolución de problemas para maestros de educación básica (Vol. 1). Guadalupe: López Mateo Editores.
De la Prida, C., Gaztelu, A. M., González García, A., Machín, P., Pérez Saavedra, C., & Sánchez Figueroa, D. (2015). Matemáticas 3 ESO. Enseñanzas académicas. Serie Resuelve. Poryecto saber Hacer(1.a ed.). Santillana Educación, S.L.
Moya, P. (2014). Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 3o B de ESO. Madrid: Libros Marea Verde.