Proporcionalidad entre magnitudes: definición, tipos y ejemplos

1. Definición y glosario

1.1. ¿Qué es la proporcionalidad entre magnitudes?

La proporcionalidad entre magnitudes es una clase de relación que podemos establecer entre dos o más magnitudes. Nos encontrarnos con relaciones de este tipo en nuestro entorno cotidiano, por ejemplo, en las recetas de cocina, compras en el supermercado, mapas, etc. Como podemos leer en la siguiente cita, es muy importante que los estudiantes tengan una buena comprensión de la proporcionalidad, pues es un tema relacionado con otros contenidos fundamentales de la educación media.

El razonamiento proporcional generalmente se considera como una de las componentes importantes del pensamiento formal que se adquiere en la adolecencia […]. Cuando no se logra el desarrollo en esta área en la adolescencia temprana o media, se trunca la capacidad de estudiar una gran variedad de disciplinas en las que se requiere razonamiento y comprensión cuantitativa, incluyendo álgebra, geometría, algunos aspectos de biología, química y física.

(Hoffer & Hoffer, 1988)

Como decíamos, la proporcionalidad es un tipo de relación, una relación que podemos representarla de diferentes maneras:

• Enunciado verbal

<<En el hotel Puerta del arroyo por tres días de estancia pagué 75 euros y por cuatro 100>>.

• Tabla

• Gráfica

Gráfico en el que se refleja el coste de la estancia en función del tiempo que estemos en un hotel, que sirve para ejemplificar lo expuesto en uno de los apartado del artículo sobre proporcionalidad entre magnitudes — Clic para ampliar

• Notación matemática

$\boxed{y=25\cdot x}$

Donde y es el coste de la estancia (dinero), 25 la constante de proporcionalidad y x la cantidad de días de permanencia en el hotel (tiempo).

Infografía en la que se detallan a modo de esquema los elementos que forman parte del glosario sobre proporcionalidad entre magnitudes — Clic para ampliar

1.2. Glosario

Si queremos comprender correctamente la proporcionalidad entre magnitudes, antes de seguir, debemos repasar una serie de conceptos.

1.2.1. Magnitud

Una magnitud es algo que puede aumentar o disminuir, que se puede medir.

1.2.2. Medir

Medir es asignar un número a una cantidad de magnitud.

1.2.3. Unidad de medida

La unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud.

1.2.4. Medida

La medida es el número que obtenemos en la medición.

1.2.5. Cantidad

Se entiende por cantidad la porción de una determinada magnitud. Se expresa por la medida (número) y la unidad de medida.

1.2.6. Tasa

Una tasa es el cociente de dos cantidades con unidades de medida diferentes.

$\boxed{\frac{36\$}{3h}}$

1.2.7. Razón

Una razón es un cociente de dos cantidades con la misma unidad de medida.

$\boxed{\frac{8kg}{3g}}$

1.2.8. Relación

Una relación es una conexión, asociación o lazo entre dos o más cosas.

2. Magnitud antecedente y magnitud consecuente

Dependiendo de la magnitud que consideremos antecedente o consecuente (primera o segunda) tendremos 2 relaciones «diferentes».

2.1. Ejemplo 1: el dinero en función del tiempo

Por un día de estancia pagamos 25 euros. Como primera magnitud (antecedente) estamos considerando el tiempo y como segunda (consecuente) el dinero. Así, en y=kx, x puede tomar cualquier valor de la magnitud tiempo (1, 2, 3…), e y los valores correspondiente de la magnitud dinero (25, 50, 75…) y k, la constante de proporcionalidad, sería 25.

Por tanto, en el caso que nos ocupa, la expresión que representa la relación directamente proporcional entre tiempo y dinero es: y = 25x.

2.2. Ejemplo 2: el tiempo en función del dinero

Tabla con una serie de valores en la que se refleja el tiempo de estancia en función de lo que esta nos cueste en un hotel, que sirve para ejemplificar lo explicado en uno de los apartado del artículo sobre proporcionalidad entre magnitudes. — Clic para ampliar

Con 25 euros pagamos un 1 día de estancia. Como primera magnitud (antecedente) estamos considerando el dinero y como segunda (consecuente) el tiempo. De esta forma, en y = kx, x puede tomar cualquier valor de la magnitud dinero (25, 50, 75…), y los valores correspondiente de la magnitud tiempo (1, 2, 3…) y k, la constante, sería 1/25.

Por consiguiente, en nuestro caso, la expresión que representa la relación directamente proporcional entre dinero y tiempo es:

$\boxed{y=\frac{1}{25}\cdot x}$

2.3. Antecedente y consecuente en la práctica

Cuando estemos resolviendo problemas y ejercicios, independientemente de la fórmula que en el enunciado se use para describir la relación de proporcionalidad, tomaremos la relación en el sentido que estimemos más natural y cómodo —a la hora de realizar las operaciones—. Normalmente, será aquel en el que se considera magnitud antecedente la que tiene valores numéricos más pequeños y/o tenemos una relación de 1 a varios. En nuestro caso, la relación más natural sería la que expresa el dinero en función del número de días: «por un día de estancia (antecedente) pago 25 euros (consecuente)».

Importante

Antecedente y consecuente son términos que también se utilizan en referencia al numerador y el denominador —respectivamente— de una razón. Es importante que tengamos esto en cuenta, dado que en algunos manuales no se diferencia entre tasa y razón, y, por tanto, habrá «razones» en las que el antecedente (dividendo o numerador) sea un valor de la segunda magnitud (magnitud consecuente) y el consecuente (divisor o denominador), un valor de la primera magnitud (magnitud antecedente), lo que puede inducir a confusión.

3. Tipos

3.1. Aritmética y geométrica

Nos encontraremos principalmente ante dos tipos de proporcionalidad entre magnitudes, directa e inversa, sin embargo, también suele diferenciarse entre proporcionalidad aritmética y proporcionalidad geométrica.

3.1.1. Proporcionalidad aritmética

La proporcionalidad aritmética se da cuando lo que se relaciona son variables numéricas (cantidad de leche y huevos en una receta; número de trabajadores y días en completar una obra).

3.1.2. Proporcionalidad geométrica

Por otro lado, hablamos de proporcionalidad geométrica cuando intervienen objetos, cuerpos o formas geométricas que queremos replicar en diferentes tamaños o de los que, por diversas cuestiones, no podemos ejecutar una medición y tenemos que recurrir a aplicar nuestros conocimientos sobre proporcionalidad.

3.2. Directa e inversa

3.2.1. Proporcionalidad directa

nota: para ir al artículo sobre proporcionalidad directa ver el índice de artículos de este tema.

3.2.2. Proporcionalidad inversa

nota: para ir al artículo sobre proporcionalidad inversa ver el índice de artículos de este tema.

4. Bibliografía

Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, J. W. (2012). Matemáticas: Un enfoque de resolución de problemas para maestros de educación básica (Vol. 1). Guadalupe: López Mateo Editores.

Carrillo, J., Contreras, L. C., Climent, N., Montes, M. A., Escudero, D., & Flores, E. (2016). Didáctica de las Matemáticas para maestros de Educación Primaria Colección: Didáctica y Desarrollo. Parainfo.

De la Prida, C., Gaztelu, A. M., González García, A., Machín, P., Pérez Saavedra, C., & Sánchez Figueroa, D. (2015). Matemáticas 3 ESO. Enseñanzas académicas. Serie Resuelve. Poryecto saber Hacer(1.^a ed.). Santillana Educación, S.L.

Hoffer, A. & Hoffer, S. (1988). Ratios and Proportional Thinking. En Teaching Mathematics in Grades K–8 (285-312). Boston: T. Post.

Moya, P. (2014). Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 3^o B de ESO. Madrid: Libros Marea Verde.

Segovia, I., & Rico, L. (2011). Matemáticas para maestros de Educación Primaria. Madrid: Pirámide.